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Sujet du devoir
Ex 82 p 81
ABCD est un carré de coté 1.
On place les points E et F respectivement sur la cotés [AB] et [BC] tels que EB=BF. On souhaite déterminer le maximum de l'aire du triangle EFD.
On pose x=EB = BF, et f(x) l'aire du triangle EFD.
1)A quel ensemble appartient la variable x ?
2)Exprimer, en fonction de x,les aires des triangles EBF, AED et CDF. En déduire l'expression développée de f(x)
3)a)Résoudre l'equation f(x)=0
b)En déduire l'abscisse du sommet de la parabole représentant f. Quelle est son ordonnée ?
4)Dresser le tableau de variations de f et conclure.
Merci de votre aide
2 commentaires pour ce devoir
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Coucou,
1) Chaque côté du carré mesure 1 cm, donc x appartient à [0;1].
2) Aire(EBF)=x²/2
Aire(AED)= (AD x AE)/2 = 1 x (1-x)/2 = (1-x)/2
Aire(CDF)= (DC x CF)/2 = 1 x (1-x)/2 = (1-x)/2
Donc l'aire de EFD = aireABCD - (aireEBF + aireCDF + aireAED)
= 1-[(x²/2) + ((1-x)/2) + ((1-x)/2)]
-> à développer et tu trouveras normalement: f(x)= ((-1/2)x²) + x
3)a) f(x)=0 ->à faire toi-même et tu trouveras normalement: x=0 ou x=2
b) Sachant que f(x) est une fonction du second degré avec a=-1/2. 0 et 2 ont alors la même image par f donc alpha = (0+2)/2 = 1 -> Beta = f(alpha) -> f(alpha)=f(1) -> f(1)=(-1/2)+1 = 1/2 -> Beta=1/2
Donc l'abscisse du sommet de la parabole représentant f est 1 ->(alpha) ayant pour ordonnée 1/2 ->(Beta).
4) Sur [0;+l'infinie]:
x___0_________1___________+l'infinie
croissant 1/2
f(x) décroissant
Sur [0;1]:
x___0_________________1
croissant 1/2
f(x) 0
Donc l'aire maximale est 1/2.
Voià! J'espère t'avoir aidé! @+☺
Tres bien , merci beaucoup !