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Sujet du devoir
Un rectangle a un périmètre égal à 8m et une aire égale à 1m². On propose de déterminer les dimensions x et y de ce rectangle.1/Montrer que les valeurs possibles de x vérifient l'équation: 1/x = -x + 4 avec x>0
2/Résoudre graphiquement cette équation puis en déduire une résolution approchée du problème posé.
3/ Développer (x-2)²-3 puis en déduire les valeurs exactes de x et de y.
Où j'en suis dans mon devoir
Je pense avoir réussi la question 2 et 3 mais je n'ai pas compris la 4.2/ L'équation admet graphiquement 2 solutions 0.25 et 3.75. La longueur du rectangle est 3.75 et sa largeur 0.25.
3/ x²-4x+4-3 = x²-4x+1. Par contre je n'ai pas déduit les valeurs exactes de x et y
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Appelons x et y la largeur et la longueur du rectangle.
Le périmètres est égal à 8 m donc 2 * (x + y) = 8, soit x + y = 4
L'aire est égale à 1 m² donc : x*y = 1
On peut désormais exprimer y en fonction de x, en précisant que x et y sont positifs non nuls.
De ce fait :
x + y = 4 devient y = 4 - x
x*y = 1 devient y = 1/x
Ces deux expressions permettent d'écrire : 1/x = 4 - x
Cette égalité s'écrit aussi : 1 = 4x - x²
On a donc : x² - 4x - 1 = 0
x² - 4x + 2 - 2 - 1 = 0 (j'ai ajouté +2 et retranché -2 pour introduire une identité remarquable)
(x - 2)² - 3 = 0
(x - 2)² - (V3)² = 0
(x - 2 - V3)(x - 2 + V3) = 0
x = 2 + V3 ou x = 2 - V3
Il suffit ensuite d'exprimer les 2 valeurs possibles de y selon les valeurs de x. A noter, x est bien positif !
Niceteaching, prof de maths à Nice