Le Centre du cercle inscrit

Sujet du devoir

Soit ABC un triangle quelconque. On pose AB=c, AC=b et BC=a et on désigne par I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. La bissectrice intérieure de l'angle BAC coupe [BC] en Ia. La parallèle à (AIa) passant par C coupe (AB) en K.

1) Montrer que la bissectrice intérieure de l'angle CAK est perpendiculaire à (CK). En déduire la nature du triangle ACK.

2) Montrer que IaB/IaC=c/b en utilisant le théorème de Thalés. En dédurie des égalités analogues pour les rapports IbA/IbC et IcA/IcB, Ib et Ic désignant les intersections des bissectrices intérieures des angles respectifs ABC et BCA avec les côtés (AC) et (AB) du triangle.

3) Expremier Ia, Ib et Ic comme barycentre de deux sommets du triangle affectés de coefficients que l'on déterminera.

4) En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que le point I est le barycentre des sommets du triangle ABC affectés de coefficients égaux aux longueurs des côtés opposés à ces sommets.

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai réussi à faire la question 2), 3) et 4) mais j'arrive pas à faire la question 1) même si c'est la plus simple aidez moi SVP