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Sujet du devoir
Bonjour, il y a un exercice de DM que je n'arrive pas à résoudre. Il s'agit de démonstration, j'ai les idées mais je n'arrive pas à appliquer.Le sujet :
Soit f une fonction définir et monotone sur un ensemble I.
1/ Somme d'une fonction et d'une constante :
Soit k un réel. La fonction g=f+k est définie sur I par : g(x)=(f+k)(x)=f(x)+k.
a/ démontrer que si f est une fonction strictement croissante sur I, alors la fonction g aussi.
b/ En déduire que f et f+k ont la meme monotonie sur I.
2) Produit d'une fonction par coefficient:
Soit Lambda un réel. La fonction h=Lf est définie sur I par : h(x)=(Lf)(x)= L*f(x)
Etablir, suivant les valeurs de L, une relation entre les variations de h et celles de f.
3) Racine d'une fonction positive:
On suppose ici que la fonction f est positive sur I.
La fonction Racine de f est définir sur I par : (Raf) (x)= Raf(x).
Démontrer que f et Raf ont la même monotonie sur I.
Où j'en suis dans mon devoir
1/ Je suppose qu'il faut prouver le sens de variation mais également prouver que la fonction est monotone.Je pensais donc faire f(a)
alors f(a)+k>f(b)+k
Donc les deux fonctions ont le même sens de variation.
Cependant, comment prouver une monotonie ?
Je pense qu'après avoir résolu cette premiere demonstration, je devrais m'en sortir pour les autres..
Merci de votre aide et de vos explications!
14 commentaires pour ce devoir
D'accord oui j'ai compris ! Merci beaucoup !
Donc j'utilise la même méthode au 2 je suppose ?
Ce qui donnerait :
f(a)
Donc j'utilise la même méthode au 2 je suppose ?
Ce qui donnerait :
f(a)
oui, il faut distinguer les cas selon que Lambda est >0 ou <0
car quand tu multiplies par un nombre <0, l'inégalité change de sens.
car quand tu multiplies par un nombre <0, l'inégalité change de sens.
D'accord, donc je trouve :
Soient a et b deux réels et L<0
f(a)
Donc h(a)>h(b)
Soient a et b deux réels et L>0
f(a)
C'est ça ?
Soient a et b deux réels et L<0
f(a)
Donc h(a)>h(b)
Soient a et b deux réels et L>0
f(a)
C'est ça ?
Soient a et b deux réels
appartenant a I, tels que a < b ==> n'oublie pas ça, c'est important !
et L<0
f(a)
Donc h(a)>h(b)
et h est décroissante
==> donc si Lambda est négatif, f et h ont des monotonies opposées.
Soient a et b deux réels de I, tels que a0
f(a)
donc h est croissante
==> quand L>0, h et f sont de meme monotonie.
OK ?
appartenant a I, tels que a < b ==> n'oublie pas ça, c'est important !
et L<0
f(a)
Donc h(a)>h(b)
et h est décroissante
==> donc si Lambda est négatif, f et h ont des monotonies opposées.
Soient a et b deux réels de I, tels que a0
f(a)
donc h est croissante
==> quand L>0, h et f sont de meme monotonie.
OK ?
D'accord je pense comprendre ! Je vais rerédiger..
C'est bon j'ai tout compris, mon erreur de frappe etc..
Maintenant le 3/,
On doit faire la même chose que pour le 1 , prouver que les fonctions sont croissantes puisque la fonction racine est défini sur R+, donc si deux réels a et b appartenant à I tels que a
Maintenant le 3/,
On doit faire la même chose que pour le 1 , prouver que les fonctions sont croissantes puisque la fonction racine est défini sur R+, donc si deux réels a et b appartenant à I tels que a
pour la 2) tu as posé comme hypothèse que f est croissante
pour une réponse complète, vérifie ce que ca donne quand f est décroissante.
3) oui, tu dois faire la meme chose que pour la 1,
distingue bien les 2 cas :
1) f est croissante
2) f est décroissante
pour une réponse complète, vérifie ce que ca donne quand f est décroissante.
3) oui, tu dois faire la meme chose que pour la 1,
distingue bien les 2 cas :
1) f est croissante
2) f est décroissante
Ah oui exact ! Je trouve donc :
Soient a et b deux réels de I tels que a>b et L<0
f(a)>f(b)
f(a)*L
Soient a et b deux réels de I tels que a>b et L>0
f(a)>f(b)
f(a)*L>f(b)*L
Donc h(a)>h(b) donc H est croissante sur I lorsque L>0
C'est bon ?
Soient a et b deux réels de I tels que a>b et L<0
f(a)>f(b)
f(a)*L
Soient a et b deux réels de I tels que a>b et L>0
f(a)>f(b)
f(a)*L>f(b)*L
Donc h(a)>h(b) donc H est croissante sur I lorsque L>0
C'est bon ?
angel, concentre toi...
d'abord on a dit :
Soient a et b deux réels
appartenant a I, tels que a < b et L<0
avec f croissante alors :
f(a)
Donc h(a)>h(b)
==> ainsi h est décroissante
Soient a et b deux réels de I, tels que a0
avec f croissante
f(a)
donc h est croissante
ensuite on dit :
Soient a et b deux réels
appartenant a I, tels que a < b et L<0
avec f décroissante alors :
f(a)>f(b) puisque f est décroissante
f(a)*L < f(b)*L car L<0
Donc h(a)< h(b)
==> ainsi h est croissante
Soient a et b deux réels de I, tels que a0
avec f décroissante
f(a) > f(b) puisque f est décroissante
f(a)*L > f(b)*L
h(a) > h(b)
donc h est décroissante
conclusion : si L est >0, la monotonie est conservée,
si L<0 les monotonies sont inversées.
D'accord ?
d'abord on a dit :
Soient a et b deux réels
appartenant a I, tels que a < b et L<0
avec f croissante alors :
f(a)
Donc h(a)>h(b)
==> ainsi h est décroissante
Soient a et b deux réels de I, tels que a0
avec f croissante
f(a)
donc h est croissante
ensuite on dit :
Soient a et b deux réels
appartenant a I, tels que a < b et L<0
avec f décroissante alors :
f(a)>f(b) puisque f est décroissante
f(a)*L < f(b)*L car L<0
Donc h(a)< h(b)
==> ainsi h est croissante
Soient a et b deux réels de I, tels que a0
avec f décroissante
f(a) > f(b) puisque f est décroissante
f(a)*L > f(b)*L
h(a) > h(b)
donc h est décroissante
conclusion : si L est >0, la monotonie est conservée,
si L<0 les monotonies sont inversées.
D'accord ?
Pour le 3/
Supposons que f est croissante sur I, soient a et b deux réels de I tels que a < b
f(a)
Ensuite, soient a et b deux réels de I tels que a>b
f(a)>f(b)
Raf(a)>Raf(b)
Donc la fonction est décroissante sur I
F et RaF ont donc la même monotonie puisque si l'une est croissante, la seconde le sera également et si l'une est décroissante, l'autre le sera aussi.
Supposons que f est croissante sur I, soient a et b deux réels de I tels que a < b
f(a)
Ensuite, soient a et b deux réels de I tels que a>b
f(a)>f(b)
Raf(a)>Raf(b)
Donc la fonction est décroissante sur I
F et RaF ont donc la même monotonie puisque si l'une est croissante, la seconde le sera également et si l'une est décroissante, l'autre le sera aussi.
Encore une faute de frappe, j'avais bien écrit sur mon brouillon que si h(a)>h(b) alors h est décroissante.
J'ai compris pour la monotonie !
J'ai compris pour la monotonie !
Pour le 3) c'est très bien.
ajoute que RaF est définie sur I car f est positive.
Bonne soirée !
ajoute que RaF est définie sur I car f est positive.
Bonne soirée !
D'accord, merci beaucoup pour votre aide ! Bonne soirée!
oui, ton idée est bonne.
"monotone" : une fonction est monotone, si elle reste croissante (ou décroissante) sur l'intervalle.
f est monotone sur I.
1/ Soit k un réel.
on a g(x)= (f+k)(x) =f(x)+k.
a/ démontrer que si f est une fonction strictement croissante sur I, alors la fonction g aussi.
si f est strictement croissante, alors quels que soient a et b de l'intervalle I tels que a < b, on a f(a)
f(a) < f(b)
f(a) + k < f(b) + k
==> g(a) < g(b)
donc g est aussi strictement croissante.
Comme on l'a fait QUELS QUE SOIENT a et b sur I, g garde le meme sens de variation sur I ==> elle est monotone.
tu comprends ?
b/ En déduire que f et f+k ont la meme monotonie sur I.
de meme on démontre que si f est strictement décroissante sur I, alors g est aussi strictement décroissante sur I.
Donc elles ont la meme monotonie.
OK ?