Résolution de l'équation 2x-1=1/x

bonjour

tu dois d'abord écarter la valeur 0 qui annule le dénominateur (valeur interdite)

tes 2 méthodes sont correctes et mènent à la même chose :

produit en croix:
2x-1 = 1/x
(2x-1)x = 1
2x²-x = 1
2x²-x-1 = 0

2x-1 - (1/x) = 0
((2x²-x)/x) - (1/x) = 0
(2x²-x-1)/x = 0 <=>
2x²-x-1 = 0 ---- une fraction est nulle ssi le numérateur est nul.

si tu es bien en seconde, la seule façon de résoudre cette équation est de passer par la forme canonique, puis factorisation.
tu sais faire?

si on te demandait (?) la résolution GRAPHIQUE de l'équation,
- tu traces la droite y = 2x-1
- tu traces l'hyperbole y=1/x

les solutions sont les abscisses des 2 points d'intersection de ces courbes.

On a pas encore fait la forme canonique, je viens de voir sur internet de quoi il s'agissait. Et je trouverais ça bizarre, qu'on nous demande de résoudre une équation avec un forme qu'on a pas vue, non ? :/

Oui, mais justement, ils ont demandé une résolution par calcul...

effectivement on apprend à résoudre les équations du second degré avec une méthode plus facile en 1ère,

mais la mise sous forme canonique puis factorisation via l'identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b) est accessible en seconde, et c'est que l'on te demande.

si tu veux me montrer le détail de tes calculs, n'hésite pas.

à tout hasard, ton énoncé est bien exact ?

D'accord, je vais essayer avec l'identité remarquable, puis je montre mes calculs.
Sinon, oui, l'énoncé est bon, on nous demande de vérifier par calcul que les coordonnées des points d'intersections des droites d'équation 2x-1 et 1/x sont bien les mêmes que sur le graphique (soit -0.5 & 1).

en effet, ce sont les solutions auxquelles tu dois arriver.
je reviens te voir plus tard.

Je suis pas sure du tout mais j'ai le droit de faire ça :
(V2x²-Vx)²-1² = 0
(V2x²-Vx +1)(V2x²-Vx -1) = 0
Mais ça mène à rien :o

la méthode est toujours la mm, je te montre:

1) on commence par factoriser le coeff de x² (soit a)
2x²-x-1 = 2 (x² - x/2 - 1/2)

2) on s’intéresse aux deux 1ers termes dans la ( ), pour mettre en évidence un carré remarquable:

x² - x/2
= x² - (1/2)x
= x² - 2*(1/4)x
= (x - 1/4)² - (1/4)²
pour comprendre: développe et réduis ceci, tu dois retrouver x²-x/2

3) on récaptitule
2x²-x-1 = 2 (x² - x/2 - 1/2)
= 2 [(x - 1/4)² - (1/4)² - 1/2]

tu essaies de continuer ?
calcule - (1/4)² - 1/2
puis distribue le 2 dans les crochets

que trouves-tu ?

;_; j'ai pas compris !
j'ai essayé de mettre -(1/4)² & -1/2 au même dénominateur, mais ça m'aide pas...
Je sais par contre qu'il faut tomber sur (2x+1)(x-1)=0 mais je saurais pas expliquer comment ;_;

ou bien si je continue et factorise, je trouve :
2[(x-1/4)²-1/4(1/4-2)] mais ça me mène à rien a_a

j'ai essayé de mettre -(1/4)² & -1/2 au même dénominateur, mais ça m'aide pas

et si justement, c'est ce qu'il faut faire !
que trouves-tu ?

-1/16 -8/16 ? :[
Et du coup après j'ai essayé de continuer, ça me fait :
2[(x-1/4)²-9/16]
soit
2[x²-(2x/4) + 1/16 - 9/16] ? Je suis sur la bonne voie ?

tu y es

2 [(x-1/4)²-9/16] = 0 <=>
(x-1/4)²-9/16 =0 <=>
(x-1/4)² - (3/4)² = 0 --- et hop une forme a²-b² ! factorise

En fait, avec le 2, c'est parce que 2 est pas = à 0, alors c'est forcément [(x-1/4)²-9/16] qui l'est, c'est ça ?

Mais du coup, c'est la question que je me suis posée, est-ce que ça ferait pas bizarre que j'utilise cette méthode qu'on a pas encore étudiée ?

Et (2x+1)(x-1)=0, ça marche pas ?

"2 est pas = à 0, alors c'est forcément [(x-1/4)²-9/16] qui l'est, c'est ça ? " tout à fait

l'équation du type a*x = 0, avec a nombre réel non nul
est équivalente à x = 0
-----

(x-1/4)² - (3/4)² = 0 <=>
(x-1/4 -3/4) (x-1/4 +3/4) = 0 <=> factorisation
(x-1)(x+1/2) = 0 <=>
(x-1) = 0 OU (x+1/2) = 0 <=> équation produit nul
x = 0 OU x = -1/2

ceci dit, si dans une question précédente on te dit de montrer que 2x²-x-1 = (2x+1)(x-1), tu t'en sers bien sûr;

et on aura fait ce travail pour rien... ou presque :)

Merci, j'avais réussi à retrouver -0.5 & 1 :)
xD Non, justement, sinon j'aurais fait le lien en faisant l'exercice, c'est juste qu'avec le cned, ils nous donnent souvent des exercices avec des méthodes qu'on connait pas pour ensuite nous reprocher de les utiliser :|
Merci, je vais utiliser cette méthode ! ^v^

bonne continuation :)