Symétriques et vecteurs

Sujet du devoir

Bonjour,voici le sujet de mon exercice, issue du livre de mathématiques de Seconde Odysée. (N°90 p.178)

Soit un parallélogramme ABCD de Centre O. I,J,K,L sont les symétriques respectifs de A,B,C,D par rapport à B,C,D et A.

a. Démontrer que Vecteur BI= Vecteur KD.
En déduire que O est le milieu de [IK].

b. Démontrer de même que O est le milieu de [LJ].

c. En déduire la nature du quadrilatère IJKL.

Où j'en suis dans mon devoir

Ce que j'ai fais:

a. Démontrer que vecteur BI= vecteur KD:

Je sais que ABCD est un parallélogramme, K est le symétrique de C par rapport à D et I symétrique de A par rapport à B.
Je déduis ensuite que B est le milieu de [AI] et D milieu de [KC].
Donc on peut dire que les vecteurs AB=BI=DC=KD
A l'aide de cette inégalité je peux dire que vecteur BI= vecteur KD.

En déduire que O est le milieu de [IK]:

On sait que vecteur Bi= vecteur KD. J'en déduis donc que KCIA est un parallélogramme ayant pour diagonale [KI] et [AC] qui se coupent en leur milieu, en point O.

b.Démonter que O miliey de [LJ]:

C'est à partir de cette question que je commence à bloquer, j'ai éssayer d'utiliser les vecteurs pour le prouver mais je n'ai abouti a rien de concrès. Si quelqu'un pourrait m'éclairer s'il vous plait ?

c. Déduire la nature du quadrilatère IJKL:

(Là encore, je ne suis pas très convaincue de mon résultat)
Je sais que: KDIA parallélogramme,et KJIL est un quadrilatère ayant des diagonales qui se coupent en leur milieu et de même longueur.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales de même mesure alors c'est un rectangle.
Donc IJKL est rectangle.

Voilà, j'espere que vous me répondrez assez vite pour que vous m'éclairiez un peu plus sur les questions b et c. Merci de votre aide précieuse.