triangles isometriques et semblables

Sujet du devoir

ex 1

Un cercle (C) de centre O et de rayon R est tangent au point I au cercle (C') de centre O' et de rayon R'. [AB] est un diamètre de (C). (AI) et (BI) recoupent (C') respectivement en A' et B'. En faisant appel à des triangles semblables, exprimer le rapport des aires des triangles ABI et A'B'I en fonction de R et R'.

EX 2

Puissance d'un point par rapport à un cercle : P est un point extérieur à un cercle (C) de centre O et de rayon r. Une première droite (d1) passant par P coupe (C) en M et N (P, M et N alignés dans cet ordre). Une deuxième droite (d2) passant par P coupe (C) en R et S (P, R et S alignés dans cet ordre). 1) Montrer l'égalité PR × PS = PM × PN en mettant en évidence deux triangles semblables. 2) (PO) coupe (C) en A et B. Montrer que PA × PB = PO² – r². 3) Conclure sur le fait que lorsqu'une droite passant par P coupe (C) en deux points X et Y, le produit PX × PY est constant.

EX 4

ABCD est un carré de côté a. I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AD]. (DI) coupe (CJ) en E et (AC) en F. Comparer l'aire du triangle JED à celle du carré ABCD. (Pour cela, on peut utiliser les triangles DEC et IAD, dont on montrera qu'ils sont semblables ; ainsi que les triangles DCJ et JED) 