une configuration particulière

Sujet du devoir

bonjour

ABCD est un parallèlogramme. P est un point du plan. Les points A', B', C' et D' sont les milieux de [AP], [BP], [CP] et [DP].


1) Quelle conjecture peut-on faire sur A'B'C'D'?

on peut supposer que A'B'C'D' est un parallelogramme.

2) un cas particulier

A(-4;-2) B(2;0) C(4;4) D(-2;2) P(-2;0)



faire la figure

calculer les coordonnees des points A'B'C'D'
par definition du symetrique

A'milieu de (AP) donc A est symetrique de P par rapport a A'

B' (BP) B " " P " B'

C' " (CP) C " " P " C'

D' " (DP) D " " P " D'



A' milieu de (AP)

xA+xP/2=xA' -4-2/2=-3

yA+YP/2=YA' -2+0/2=-2/2=-1

A'(-3;-1)

B'milieu de (BP)

xA+xP/2=xB' 2-2/2=0/2=0

yB+yP/2=yB' 0+0/2=0/2=0

B'(0;0)

C' milieu de (CP)

xC+xP/2=xC' 4-2/2=1

yC+yP/2= yC' 4/2=2


C'(1;2)


D' milieu de (DP)

xD+xP/2=xD' -2-2/2=-4/2=-2


yD+YP/2=yD' 2+0/2=1


D'(-2;1)

c)

A'B'C'D' est un parallelogramme

calculons les coordonnées des milieux soit K milieu de (AC) et L de (BD)

xK=xA+cC/2= -4+4/2=0

yK=yA+yC/2=-2+4/2=1

K(0;1)

xL=xB+xD/2=2-2/2=0

yL=yB+YD/2=0+2/2=1

L(0;1)

on constate que les points K et L ont les memes coordonnees donc ils sont confondus.c'est à dire que ABCD a ses diagonales (AC) et (BD) qui ont le même milieu ABCD est donc un parallelogramme.






véridier que A' B' C' D' est un parallelogramme


3) sans repère

Démontrer que pour n'importe quel parallelogramme ABCD et pour n'importe quel point P autre que A ,B,C,ou D:

a) (A'B')//(AB)

b)A'B'C'D' est toujours un parallelogramme


pour le petit 3 je ne sais pas comment m'y prendre merci de m'aider

Où j'en suis dans mon devoir

bonjour

ABCD est un parallèlogramme. P est un point du plan. Les points A', B', C' et D' sont les milieux de [AP], [BP], [CP] et [DP].


1) Quelle conjecture peut-on faire sur A'B'C'D'?

on peut supposer que A'B'C'D' est un parallelogramme.

2) un cas particulier

A(-4;-2) B(2;0) C(4;4) D(-2;2) P(-2;0)



faire la figure

calculer les coordonnees des points A'B'C'D'
par definition du symetrique

A'milieu de (AP) donc A est symetrique de P par rapport a A'

B' (BP) B " " P " B'

C' " (CP) C " " P " C'

D' " (DP) D " " P " D'



A' milieu de (AP)

xA+xP/2=xA' -4-2/2=-3

yA+YP/2=YA' -2+0/2=-2/2=-1

A'(-3;-1)

B'milieu de (BP)

xA+xP/2=xB' 2-2/2=0/2=0

yB+yP/2=yB' 0+0/2=0/2=0

B'(0;0)

C' milieu de (CP)

xC+xP/2=xC' 4-2/2=1

yC+yP/2= yC' 4/2=2


C'(1;2)


D' milieu de (DP)

xD+xP/2=xD' -2-2/2=-4/2=-2


yD+YP/2=yD' 2+0/2=1


D'(-2;1)

c)

A'B'C'D' est un parallelogramme

calculons les coordonnées des milieux soit K milieu de (AC) et L de (BD)

xK=xA+cC/2= -4+4/2=0

yK=yA+yC/2=-2+4/2=1

K(0;1)

xL=xB+xD/2=2-2/2=0

yL=yB+YD/2=0+2/2=1

L(0;1)

on constate que les points K et L ont les memes coordonnees donc ils sont confondus.c'est à dire que ABCD a ses diagonales (AC) et (BD) qui ont le même milieu ABCD est donc un parallelogramme.






véridier que A' B' C' D' est un parallelogramme


3) sans repère

Démontrer que pour n'importe quel parallelogramme ABCD et pour n'importe quel point P autre que A ,B,C,ou D:

a) (A'B')//(AB)

b)A'B'C'D' est toujours un parallelogramme


pour le petit 3 je ne sais pas comment m'y prendre merci de m'aider