Devoir de Maths

Sujet du devoir

ABC est un triangle rectangle tel que AB= 10cm, AC= 6cm et BC= 8cm
P est un point du segment [AB].
PQCS est un rectangle inscrit dans le triangle ABC
on pose PQ= x



1- Quelles sont les valeurs que peut prendre x ?
2- Exprimer PS en fonction de x ?
3- Pour quelle(s) valeur(s) de x le quadrilatère PQCS est-il un carré? Justifier par un calcul
4- On appelle A(x) l'aire du rectangle PQCS en centimetre carré . Montrer que A(x)= -4/3x au carré + 8x.
5.a. Calculer A (1/4).
b. Calculer A(6). Ce résultat peut -il être obtenu directement sans utiliser l'expression A(x)? pourquoi ?

Où j'en suis dans mon devoir

Dessinons d'abord le triangle pour nous fixer les idées. L'hypoténuse est toujours le plus long des côtés d'un triangle rectangle : donc ici c'est AB qui est l'hypoténuse.

PQ étant parallèle à AC, mais restant à l'intérieur du rectangle, sa longueur " x " sera donc nécessairement comprise entre 0 et 6 cm, mais les extrêmes " 0 " et " 6 " étant exclues, sinon le rectangle serait " aplati " .

PS = 8 cm, moins la longueur de BQ. Et sachant que les triangles BAC et BPQ sont SEMBLABLES, on en déduit que longueur de BC, divisée par la longueur de CA = longueur de BQ, divisée par la longueur de QP. Or 8 cm divisés par 6 cm = 4/3 donc QB / x = 4/3 aussi ; donc QB = (4/3).x ; donc PS = [8 - (4x/3) ] cm = 4 [2 - (x / 3) ] cm.

Pour savoir pour quelle valeur de x on a un carré, il suffit de résoudre l'équation " 8 - (4x/3) = x" . En résolvant, on trouve x = (24/7) cm.