Géométrie - calcul d'aire

où (en) es-tu?

Bonjour,
Désolé j'avais mis un message hier mais j'ai des problèmes d'internet, il n'a pas du passer
AM = CN
Si AM = x alors MB = 8-x donc CN =8-x
Aire de MBCN: (8-x+x) x4 / 2 = 8x4/2= 32/2 = 16
Dis moi si c'est juste
pour le b) comment calculer CP et CN pour calculer les aires des triangles, tu peux me mettre sur la piste

Je ne sais pas si j'écris comme il faut les x et les multiplié comment les différencier ?

bonjour :)

sur le site, on utilise * pour la multiplication, afin de ne pas confondre avec la variable x.

je corrige ce que tu as écrit :
AM = CN ... ok
Si AM = x alors MB = 8-x ... ok
donc CN =8-x ... et non, tu as dis plus haut que CN = x
(c'est DN = 8-x)

Aire de MBCN: (8-x+x)* 4 / 2 = 8x4/2= 32/2 = 16 ... juste
remarque: on trouvera d'ailleurs logique que toute droite passant par le centre de symétrie d'un rectangle coupe son aire en 2.

b) rappel : aire triangle = base*hauteur/2

CN = x ... vu en a)

comment calculer CP ? --> à l'aide du théorème de Thalès :

considère le triangle DCB et les droites // (PN) et (BD)
d'après Thalès, on peut écrire les rapports suivants
CN/CD = CP/CB ---> d'où tu extrais CP = ... en fonction de x

à partir de CP, tu en déduis BP.
----

en déduire que l'aire du triangle MPN
observe la figure :
aire(MPN) = aire(MBCN) - aire(PCN) - aire(MBP)
tu disposes de tous les éléments pour l'établir :
après réduction tu dois arriver à 4x-x²/2.

que trouves-tu ?

oui mais je suis faché avec thales
CN/CD =CP/CB ça donne x/8=CP/4 et CP = la je coince

il faudra te réconcilier ... tu auras souvent besoin de lui ;=)

x/8=CP/4 <=>
CP = (4*x)/8 <=> produit en croix
CP = x/2

ok CP = x/2
BP = 4-CP
= 4-x/2
Aire de PCN: CP*CN/2 = x/2*x/2 = 2x/2/2 = x/2
Tu peux me corriger je suis pas trop sur de moi

il manque les parenthèses, d'où erreur de simplification :

Aire de PCN: CP*CN/2 = ((x/2)*x)/2 ... ok
= (x*x)/(2*2)
= x²/4

pour réviser le théorème de Thalès :
http://cours4eme.blogspot.fr/2007/08/proportionnalit-dans-le-triangle.html

Je continue Aire de MBP
MB*BP/2
(8-x)*(4-x/2)/2
32-(x²/2)/2 la déja je pense que c'est faux
16-(x²/2)
8-x²
Je ne me reconnecterai que ce soir
merci pour le lien

aire de MBP
= MB*BP/2
= (8-x)*(4-x/2)/2 ... ok
........ = 32-(x²/2)/2 oulala!!

BP = 4 - x/2
= (8-x) / 2 .... on met sur dénominateur commun

donc
aire de MBP = MB * BP / 2 = [(8-x)*(8-x)/2] /2 = ??
écris-le sur ta feuille, ce sera plus facile que l'écriture en ligne.
bonne journée !

J'écris bien sur ma feuille mais alors la les crochets c'est trop pour moi, je n'y ai jamais rien compris!!!

... bonne occasion pour faire une révision sur le calcul littéral, qu'il te faut bien maitriser (tu le croiseras très souvent, autant l'affronter une bonne fois pour toutes ^^)

ne te laisse pas impressionner par les crochets : tu peux les remplacer par des parenthèses (même rôle).
leur intérêt est d'éviter de les confondre avec les autres ( ) : on distingue ainsi mieux les priorités.

sur le site que je t'ai donné plus haut, je te conseille de prendre le temps de regarder dans les niveaux 5ème et 4ème : opérations sur les fractions, et calcul littéral.

sur un autre exemple:

(ab/3) / 4
= [(ab) * (1/3)] * (1/4)
--- diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse.

= (ab) * [(1/3) * (1/4)]
--- la multiplication est associative : tu peux déplacer les [ ] - ou les ( )

= (ab) * [(1*1)/(3*4)]
--- pour multiplier 2 fractions, on multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux

= ab * (1/12)
= ab/12

remarque : j'ai détaillé les étapes pour t'expliquer, mais tu pouvais aussi faire:
(ab/3) / 4
= ab / (3*4)
= ab /12
comprends-tu pourquoi ?

reprends ton exo.

ok je reprendsaire de MBP
MB*BP/
(8-x)*(4-x/2)/2
[(8-x)*(8-x)]/2/2
(8-x)*(8-x)/2*2
(8-x)*(8-x)/4
64-8x-8x+x²/4
16-2x-2x+x²/4
16-4x+x²/4
est-ce bon?

je corrige j'ai oublié le 2: MB*BP/2 au début

aire de MBP = MB*BP/2
=(8-x)*(4-x/2)/2
=[(8-x)*(8-x)]/2/2
=(8-x)*(8-x)/2*2
=(8-x)*(8-x)/4 ---- ok
= (8-x)²/4 ---- tu pouvais garder sans développer

=(64-8x-8x+x²) /4 ---- n'oublie pas les ( ) !!
rappel: (a-b)²= a²-2ab+b² identité remarquable à connaitre par cœur

= x²/4 - 4x + 16 ---- ok

continue : aire (MNP) = ...

Aire de MPN= aire de MBCN - aire de PCN - aire de MBP
(16-x/2)-(4-x/2))-(x²/4+4x-16)
-x/2-4-x/2-4x+x²/4 la j'arrive plus peux-tu m'aider?

plusieurs erreurs :

aire de MBCN : voir réponse à la question a)

aire de PCN : voir réponse à la question b)

aire de MBP = (x²/4 -4x +16) ... et non pas +4x-16

as-tu fait une solide révision sur le calcul littéral (urgent^^)?
j'insiste, dans ton intérêt, car en seconde cela va souvent te pénaliser...
sois plus rigoureux, quitte à bien détailler les étapes dans un premier temps.
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je corrige toutefois ce que tu as écrit (les aires sont fausses, je reprends seulement la réduction, à titre d’exercice)
(16 - x/2) - (4 - x/2) - (x²/4 + 4x - 16)
= 16 - x/2 - 4 + x/2 - x²/4 - 4x + 16 ... j'enlève des ( )
= - x²/4 - x/2 + x/2 - 4x + 16 + 16 - 4 ... je regroupe et ordonne les termes de mm degré
= - x²/4 -4x + 28 ... je réduis

je comprends pas tu me dis d'enlever les parenthèses donc ça donne:
16-x/2-4+x/2-x²/4+4x-16
je regroupe
-x²/4-x/2-x/2+4x+16-16-4
-x²/4-x²/4+4x-4
x²/2+4x-4
mais je n'arrive pas a en déduire que l'aire de MPN est égale à 4x-x²/2

je me demande vraiment si tu lis ce que j'écris ou bien si tu te contentes de survoler (??).

- tu ne risques pas d'arriver à 4x-x²/2 si tu ne rectifies pas les valeurs ou expressions de MBCN, de PNC et de MBP (déjà dit).

- erreur dans la 2ème ligne que tu as écrite ci-dessus (déjà dit aussi).

à noter : -x/2-x/2 n'est pas égal à -x²/4 !

- x/2 - x/2 = 2 * (-x/2) = -x après simplification

ou bien encore
- (x/2 + x/2) = .... - "2 moitiés de x", donc - x

je reprends mais je n'arrive pas au bout je mélange tout
16-(x²/4)-(x²/4-4x+16)
16-x²/4-x²/4-4x+16
-x²/4-x²/4-4x+16+16
4*(-x²/4)-4x+32
-x²-4x+32

aire(MPN)
= aire(MBCN) - aire(PCN) - aire(MBP)
= 16-(x²/4)-(x²/4-4x+16) ... ok
= 16-x²/4-x²/4+4x-16 ... l'erreur est ici: +4x-16 (les signes changent)
= -x²/4 -x²/4 + 4x .... ainsi 16-16 disparait (=0)
= 2 *(-x²/4) + 4x .... c'est 2*, non pas 4*
= -x²/2 + 4x
= 4x - x²/2
----

gros plan sur un 'détail': - x²/4 - x²/4

imagine que x²/2 = pomme

-(x²/4) -(x²/4) = - pomme - pomme = -2 pommes ... et non pas -4

donc - x²/4 - x²/4 = 2 * (-x²/4) = -x²/2 après simplification

as-tu compris?
(toujours le problème sur le calcul littéral...)
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c) L'aire de MNP peut-elle être égale à 8?

on sait que cette aire = 4x-x²/2
résolvons donc l'équation en x :
4x - x²/2 = 8

aide : mets 4x sous forme d'une fraction avec 2 pour dénominateur
donne le détail de tes calculs.

erreur de frappe : imagine que x²/4 = pomme

j'ai compris ton exemple avec la pomme mais ça ne m'aide pas pour le c)
4x-x²/2=8
4x/2-x²/=8
c'est x²/2 qui me gêne

Rgoremix, en toute amitié... si tu ne fais pas de vraies révisions en math, comme indiqué, sur des bases qui devraient être acquises depuis au moins 2 ans, tu vas avoir beaucoup de difficultés... :s

4x = (2*4) / (2*x) = 8/2x

donc
4x -x²/2 = 8 <=>
8x/2 - x²/2 = 8 <=> mets tout 'sur 2' dans la partie gauche
(8x-x²) / 2 = 8 <=> additionne les fractions
(8x-x²) = 16 <=> multiplie les 2 membres par 2
8x - x² - 16 = 0 <=> regroupe tous les termes à gauche
- x² + 8x - 16 = 0 <=> ordonne les termes par degré décroissant
- (x² - 8x + 16) = 0 <=> factorise -1 (le signe -)
- (x-4)² = 0 <=> reconnais une identité remarquable forme (a-b)²
(x-4)² = 0 <=>
x - 4 = 0 <=>
x = 4
L'aire de MNP peut-elle être égale à 8?
oui, si AM = 4, i.e. si M est le milieu du segment [AB].
---

d) Déterminer la position de M pour laquelle l'aire de MNP est maximale.

Déterminer la position de M revient à trouver la valeur de x qui répond à cette condition.

on a vu que l'aire du triangle MPN est égale à 4x-x²/2.
elle répond donc à une fonction f(x) = -x²/2 + 4x

il s'agit d'une fonction trinôme, forme ax²+bx+c, avec
a = -1/2
b = 4
c = 0
la représentation graphique de cette fonction, donc de l'aire, est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, et elle admet un sommet (ou maximum).

il y a plusieurs façons de déterminer les coordonnées de ce point-sommet (voir cours); en voici une :

l'abscisse du sommet, appelé aussi "alpha" se calcule avec la formule
alpha = -b/2a
soit ici
alpha = -4 / 2*(-1/2) = ...?

prends le temps de bien comprendre chaque étape, et dis-moi si tout est clair.
bonne journée.
a+

ok pour le c) mais la fonction trinôme connais pas!!!
j'ai suivi ton raisonnement mais c'est tout
alpha=-4/2*(-1/2)=-2*(-1/2)=1
mes difficultés viennent de la 4eme ou j'ai décroché pour me consacrer au sport, je m'entraine beaucoup et je vais bientôt arreter le lycée. En tout cas tu m'auras donner des notions d'algèbre, tu a été très patiente et je t'en remercie beaucoup

-4/[2*(-1/2)] = -4 / (-1) = 4

bizarre que tu ne connaisses pas la fonction trinôme, c'est au programme de seconde, et c'en est un exo type :s

il y a d'autres moyens de déterminer la position de M, mais cela demande quand même de connaitre un peu les fonctions du second degré, ou du moins leur représentation graphique : la parabole
--> on fait la moyenne de 2 valeurs de x qui ont la mm image. (dis-moi si cela te dit qq chose)
---

donc, tu es un grand sportif!
je te souhaite une bonne continuation,
et en cas de besoin... à la prochaine :)

je pourrais peut être refaire appel à toi car il faudra bien que je termine mon année...surtout en math, le reste je me débrouille à peu près. Quand aux images... ça me dit vaguement qque chose!!!
encore merci