Exercice de dérivation

Sujet du devoir

Où j'en suis dans mon devoir

Une entreprise souhaite fabriquer, puis commercialiser un produit A. Elle estime que le cout total de fabrication (en milliers d'euros) de q produits (en milliers d'unités) peut être modélisé par la fonction :
C(q) = 0,05q² + 0,2q + 20
où q varie entre 5 et 30 .

1. Bénéfice maximal
Cette entreprise envisage de vendre ce produit au prix unitaire de 2.30€.
a. Exprimer en fonction de q la recette R(q) issue de la vente de q unités.
b. Démontrer que le bénéfice (algébrique) réalisé par l'entreprise est alors exprimé par :
B(q) = -0,05q² + 2,1q -20
Dans quel intervalle doit se situer la production de cette entreprise pour être rentable, c'est a dire pour que ce bénéfice soit positif ? Arrondir a la dizaine.
c. Pour quelle production ce bénéfice est-il maximal ?

2. Cout moyen
On définit le cout moyen d'une unité comme le cout d'une production par unité produite :
CM(q) = C(q)/q
a. Exprimer CM(q) en fonction de q.
b. Étudier les variations de la fonction CM pour q ∈ [5;30].
c. Pour quelle production q0 ce cout moyen est-il minimal ?




3. Cout marginal
On définit maintenant le cout marginal comme le cout occasionné par al production d'une unité supplémentaire :
Cm(q) = C(q+1) -C(q).
a. Calculer Cm(25) et comparer le résultat trouvé avec C'(25 , où C' est la fonction dérivée de C.
b.Soit q0 l'abscisse du minimum de la fonction cout moyen CM trouvé à la question
2c.Démontrer que Cm(q0) = CM(q0) puis que la tangente à la courbe representative de al fonction cout total C au point d'abscisse q0 passe par l'origine du repère.


Où j'en suis :


1. Bénéfice maximal

a.
R(q)=2,3*q
b.
B(q) = -0,05q² + 2,1q -20
B(q)=R(q)-C(q)=2.3*q-(0.05*q^2 + 0.2*q + 20)=-0.05*q^2 + 2.1*q - 20

c.
B'(q)=-0.1*q + 2.1 ==> B'(q)=0 pour q=21. Le bénéfice est maximal pour 21 milliers d'unités
2. Cout moyen

a.
Cm(q)=(0.05*q^2 + 0.2*q + 20)/q=0.05*q + 0.2 + 20/q
b.
C'm(q)=0.05-20/q^2=0.05*(1-400/q^2)=0.05*(q^2-400)/q^2=0.05*(q-20)*(q+20)/q^2

x.......................(-20).................................(20)..............................
C'm.......(+).......(0)............(-)....................(0)..........(+)..................
Cm....crois.......max.......decrois..............Min.......crois................
c. Coût minimal pour q=20 milliers d'unités



3. Cout marginal
3)A
Cm(q) = C(q+1) -C(q).
Cm(q)=0.05*(q+1)^2 + 0.2*(q+1)+ 20-(0.05*q^2 + 0.2*q + 20)=0.1*q+0.25
Cm(25)=2.75

C'(q)=0.1q+0.2 ==> C'(25)=2.7

COMPARER ????


3)B) Cm(q0)=CM(q0) ??????????


JE SUIS BLOQUé à LA QUESTION 3)A CAR JE NE COMPREND PAS COMMENT COMPARER LES DEUX RESULAT Cm ET C';
et aussi je suis vraiment bloqué a la question 3)B, aidez moi please !!