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Sujet du devoir
Bonjour voici mon exercice
On note
La matrice A =
5 1
-4 0
La matrice P =
1 1
-1 -4
La matrice D=
4 0
0 1
On definit les suites (Xn) et (Yn) par
Xo=O , Yo=1, Xn+1=5Xn+Yn ,Yn+1=-4Xn pour tout n E N
Et on pose Un=
Xn
Yn
Pour tout n E N
1. Montrer que P est inversible et determiner P-1. Verifier que l'on a : D= P-1 A P
Ensuite pour trouver son inverse j'obtiens :
x+y=a
-3y=b
x=a+(1/3)
y= (-1/3)b
Donc P-1 =
1 1/3
0 -1/3
suis-je dans la bonne voie ou dans le faux complet s'il vous plait ?
Où j'en suis dans mon devoir
A est inversible car en utilisant la methode du pivot de Gauss on obtient un systeme triangulaire aucun des coefficient n'est nul :
x+y=0
-3y=0
Ensuite pour trouver son inverse j'obtiens :
x+y=a
-3y=b
x=a+(1/3)
y= (-1/3)b
Donc P-1 =
1 1/3
0 -1/3
suis-je dans la bonne voie ou dans le faux complet s'il vous plait ?
11 commentaires pour ce devoir
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Je ne vois pas trop où tu veux en venir avec tes x et y, tu n'en as pas besoin au moins pour la première question.
Le méthode du pivot de Gauss est utile pour une matrice carré d'ordre 3 ou plus, mais il y a plus simple pour des matrices carrées d'ordre 2.
Soit une matrice E qui vaut :
( a b )
( )
( c d )
La matrice est inversible si ad - bc != 0.
Si cette condition est remplie, alors la matrice inverse sera comme ceci :
( d -b )
(1/(ad - bc)) *( )
( -c a )
C'est bon j'ai trouver la solution merci
Parcontre comment peut-on donner l'expression de D^n pour n entier naturel quand on sait que D=P^-1.A.P ?
Cool que tu aies trouvé, j'ai essayé avec le pivot de Gauss, j'ai pas trouvé le bon résultat. ^^
Concernant D^n, commence par trouver D². Normalement, dès ce stade, tu devrais savoir à quoi équivaut D^n. Tu peux après démontrer ça très facilement et proprement par récurrence.
Avec le pivot de Gauss on obtient P-1 =
4/3 1/3
-1/3 -1/3
D²=
16 0
0 1
Et on ne doit pas utiliser la formule du binome de newton ?
Ah, quand je te disais de trouver D², je pensais en partant de D= P^(-1) * A * P. ;)
D²=D.P^-1.A.P ?
Remplace donc D par P^(-1) * A * P. Sans remplacer D² bien sûr. 8D
D^2=P^(-1) * A * P.P^(-1) * A * P
je ne vois tjrs pas où tu veux en venir ?
De plus on me dit exprimer A en fonction de P, P-1 et D puis montrer que pour tout entier naturel n A^n=P.D^n.P-1
S'il-te-plait explique moi cela avec beaucoup de detail
Quel est le résultat de ce calcul : P * P^(-1) ?