exercice sur les polynomes+programmation

Sujet du devoir

1) Soit P un polynôme a coefficients réels de dégrée inferieur ou égal a 7 :

P(x)= A0 + A1*X + A2*X^2 +...+ A7*X^7

On pose M= 1+ |A0| + |A1|+...|A7| .Montrer que l'intervalle ]-M,M[ contient toutes les racines de P .

2) Soit x et y deux racines de P ' , la dérivée de P . On suppose que P ' ne s'annule pas sur l'intervalle ]x,y[, et que P(x)P(x) < 0.
Démontrez qu'il existe une et une seule racine de P dans l'intervalle ]x,y[.

3) Sous les hypothèses de la question précédente , proposez une algorithme calculant cette racine de P par dichotomie. Vous réaliserez cet algorithme en C ou en C++; c’est une fonction prenant en argument les coefficients du polynômes P, un réel d indiquant la précision souhaitée dans le calcul de la racine, et les bornes x et y de l'intervalle ci-dessus. Si ᾶ est la valeur de retour de cette fonction, il faut que :

( Ǝα ϵ [ ᾶ - d , ᾶ + d ] ) P(α) = 0

Vous prouverez que votre algorithme est correct en démontrant cette propriété de manière générale et détaillée

4) Concevez une structure de données représentant le tableau de variations d’un polynôme ( c’est-à-dire la donnée des intervalles ou ce polynôme est strictement croissant ou strictement décroissant), et une seconde structure représentant son tableau e signes ( c’est-à-dire la donnée des intervalles ou ce polynôme est strictement positif ou strictement négatif).

5) Réalisez des fonctions C ou C++ renvoyant le tableau de variations et le tableau de signes d’un polynôme de degré 2 passé en argument .

Question 6) En utilisant les questions 1 et 2 les fonctions codées dans la question 3 et 5 , et les structures de données de la question 4 , réalisez en C ou C++ deux fonctions variations et signes renvoyant respectivement le tableau de variations et le tableau de signes d’un polynôme de degré inferieur ou égal à 7 passé en argument.
Ces deux fonctions devront s’appeler mutuellement ( on dit que ce sont des fonctions mutuellement récursives). Elles prendront en argument le réel d indiquant la précision souhaitée , et vous démontrerez que les zéros renvoyés dans le tableau de signes sont bien calculés à d prés.
Question 7 ) Vous choisirez un polynôme aléatoirement et comparez le résultat renvoyé par votre fonction signes avec celui produit par un logiciel de calcul numérique de votre choix ( Scilab, Matlab ,Mathematica, etc.)

Où j'en suis dans mon devoir

Aidez moi ! cest vraiment Urgent, j'etais malade et comme je suis pas allee en cour pendant une semaine, je ne savais pas que javais cet axos a rendre, maintenant jai 2 jour pour le faire, et jarrive pas du tt, en sachant que jai demandé de l'aide, mais en prepas, il a pas vraiment d'aide :(