devoir sur les fonctions , limites, suite

Sujet du devoir

Exercice 1. On considère la dynamique de deux populations, A et B, en compétition dans le
même territoire (par exemple, proies et prédateurs, ou encore deux populations utilisant les mêmes
ressources).
Soit pn la fréquence relative de la population de A à la génération n, c’est-à-dire la proportion
d’individus appartenant à la population A parmi les individus appartenant aux populations A et
B. On suppose que la suite (pn)n2N vérifie pour tout n≥0, pn+1 = f(pn) où f est la fonction
donnée par :
8x 2 [0, 1], f (x) = x + (r/2∏)sin(2∏x),
et r est un paramètre de « compétition » qui vérifie |r| < 1.
1. Que se passe-t-il si r = 0 ?
2. Tracer le graphe de x 7! sin(2∏x) pour 0 ≤x≤ 1 et calculer sa dérivée.
3. Montrer que si r ≠0, alors l’équation f(x) = x admet précisement trois solutions dans [0, 1].
4. Montrer que f est dérivable, et calculer sa dérivée. En déduire que f est strictement croissante
sur [0, 1] (quelle que soit la valeur de −1 < r < 1).
5. Montrer que f est une bijection de [0, 1] sur [0, 1].
6. Considèrons le cas 0 < r < 1.
(a) Tracer le graphe de f pour r = 1/2.
(b) Montrer que si x 2]0, 1/2[, alors f(x) > x et x < 1/2 ; et si x 2]1/2, 1[, alors f(x) < x
et x > 1/2.
(c) Supposons que 0 < p0 < 1/2. Montrer que pour tout n : pn < pn+1 < 1/2. En déduire
que la suite (pn) a une limite. Quelle est cette limite ?
(d) Supposons que 1/2 < p0 < 1. Montrer que pour tout n : 1/2 < pn+1 < pn. En déduire
que la suite (pn) a une limite. Quelle est cette limite ?
7. Considérons ensuite le cas de −1 < r < 0.
(a) Tracer le graphe de f pour r = −1/2.
(b) Supposons que 0 < p0 < 1/2. Montrer que la suite (pn) est monotone, majorée et minorée
et déterminer sa limite.
(c) Supposons que 1/2 < p0 < 1. Montrer que la suite (pn) est monotone, majorée et minorée
et déterminer sa limite.
8. Dans un des deux cas considérés en 6 et 7 on pourrait parler de « coopération » plutôt que
de compétition. Pourquoi ?
Exercice 2.
Soit f la fonction définie sur R+ par
f (x) =x(4 − x) 0 ≤ x ≤ 1
f(x)=2x + 1 1 < x ≤ 2
f(x)= a − exp(ln 2 + 2 − x) x > 2
,
où a 2 R est un paramètre à déterminer.
1. Déterminer la limite lim f(x).
2. Pour quelle valeur de a, la fonction f est-elle continue en x = 2 ?
On suppose dorénavant que la valeur de a est choisie de cette façon.
3. La fonction f est-elle continue partout ?
4. Est-elle dérivable partout ? Calculer sa dérivée là où elle est dérivable.
5. Montrer que f est une bijection de R = [0,+1[ sur un intervalle J que l’on précisera.
6. Donner une expression explicite de la fonction réciproque f−1(y) pour y 2 J.
7. Calculer la dérivée de f−1(y) en y = 6 de deux façon différentes.

Où j'en suis dans mon devoir

bonsoir,
j'ai reussi a repondre au 3 question et debut de la 4 de l'exercice 1 et au 3 premieres questions de l'exercice 2.
voici mes reponses:

1. si r=0, alors f(x)=x , donc la frequence de A dans la population reste constant au cours des generations.

2. (graphique fait). g(x)=sin(2∏x) pour 0 ≤x≤ 1
on utilise la formule u(v(x))'=v(x)'.u'(v(x))
g'(x)=2∏ cos(2∏x)

3.f(x)=x
x + (r/2∏)sin(2∏x)=x
(r/2∏)sin(2∏x)=0
sachant que r ≠0, alors (r/2∏)≠0 donc c'est forcement sin(2∏x)=0
or par definition, on sait que sin(0)=0
sin(2∏)=0
sin(∏)=0
alors
*2∏x=0
x=0
*2∏x=∏
x=1/2
*2∏x=2∏
x=1
donc f(x)=x admet bien 3 solutions {0;1/2;1} sur [0;1].
4. composé de fonction derivable , donc f(x) derivable
(reste pas compris)

exercice 2:

1. lim x(4 − x) quand 0 ≤ x ≤ 1
lim x(4 − x)= -00

lim 2x + 1 quand 1 < x ≤ 2
lim 2x + 1= +00

lim f(x)= a − exp(ln 2 + 2 − x) quand x > 2
=0

2. lim a − exp(ln 2 + 2 − x)=5
x->2
lim a − 2=5
x->2
donc a=7 c'est pourquoi la fonction est continue en 2.

3.4x-x² -> fonction polynôme donc continue
2x+1 -> fonction affine donc continue

(reste pas compris)

si vous pouvez m'aider je vous en remercie ! c'est Urgent ! je dois le rendre rapidement et on a été prévenu en retard .
cordialement