DM mathématiques MPSI suite (numérique) récurrence?

Sujet du devoir

Soient n≥2 un entier et a1 < a2 < ... < an des réels de [0,1]. On souhaite démontrer la propriété P suivante : 

Il existe i0∈ ⟦1, n-1⟧ tel que a(i+1) - ai ≤ 1/(n-1)

 

1. Ecrire avec des quantificateurs et sans négation la negation de la propriété P

2. Simplifier la somme (a1 - a2) + (a2 - a3) + ... + (an-1 - an) = (n-1)∑i=1     ai - a(i+1) 

3. Peut-on affirmer qu'il existe i0 ∈ ⟦1, n-1⟧ tel que a(i+1) - ai ≤ 1/(n-1) ?

Où j'en suis dans mon devoir

1.je vous lais faire la propriété en faisant "non-P" soit en changent: Pour tous i0∈ ⟦1, n-1⟧ tel que a(i+1) - ai > ou = 1/(n-1). 

Vous pouvez me corriger svp

2. Je voulais procéder par recurrence:

      l'initialisation est assez simple mais je suis bloqué sur l'hérédité. je ne suis meme pas sure si c'est la bonne méthode. 

Merci d'avance pour votre aide ou meme juste votre participation, bonne journée.