projecteurs qui commuttent

Sujet du devoir

salut j'ai un problème sur cette exo
E un espace vectoriel sur K (R ou C)
soit p et q deux projecteur de E qui commutent
on note E1=kerp inter kerq ,E2=kerp inter Imq, E3=Imp inter Kerq et E4=Imp inter Imq .pour k ={1,2,3,4} On note {pi}_k la projection de E sur Ek parallèlement à la somme direct des Ej j!=k
on notera X=X1+X2+X3+X4 la décomposition d un vecteur X de E suivant la somme direct E= E1+ E2 + E3 + E4

1)Calculer p(X) q(X) et p(q(X)) en fonction de X1, X2, X3, X4
2)pour p et q que représente E1+ E2 , E3+E4 ,E1+E3 , E2+E4
3)Montrer que p(q) est un projecteur dont on précisera le noyau et l image en fonction de p et q
4) Exprimer les projecteur Id, p,q et p(q) en fonction de {pi}_1 , {pi}_2 ,{pi}_3 , {pi}_4 et réciproquement.

Où j'en suis dans mon devoir

j'ai déjà montrer dans une question précédente que si p est un projecteur de E et u un endomorphisme de E alors p et u commutent ssi Ker p et Im p sont stable par u mais pour le reste je suis bloqué