Volume d'un solide de révolution (cycloïde)

Sujet du devoir

Soit (C) une arche de cycloïde.

L'équation paramétrique de la cycloïde est
x = R ( t - sin t )
y = R ( 1 - cos t )
t appartient à [ 0 ; 2.Pi ]

1) Calculer la longueur de (C) -> Fait, L=8R

2) Calculer l'aire sous la courbe -> Fait, S=3 Pi R^2

3) Calculer le volume V du solide (U) de révolution engendré par une rotation de (S), d'angle Pi, autour de Ox, telle que pour tout y appartenant à (U), y < 0 (ou égale à 0).

Où j'en suis dans mon devoir

1ere méthode :

V = intégrale ( dV ) sur le volume V

Pour trouver dV, il me faudrait exprimer le solide dans une équation paramétrique avec trois paramètres.
Pourquoi ? Car si ces trois paramètres sont a b et c, je peux écrire que ... (voir image) :
LIEN IMAGE
Avec (( )) un produit mixte et OM le vecteur position.

t et r semblent être de bon paramètre, mais je ne vois pas le troisième :/

2e méthode :

V est une somme de cylindre de hauteur élèmentaire.
Vu qu'on fait une rotation de Pi (et non de 2 Pi), on divisera à la fin par 2.

V = intégrale ( volume élèmentaire cylindre ) sur V

Volume élèmentaire cylindre = Base * hauteur = 2 * Pi * y * dx
(car y est la distance entre Ox et le point M)

V = intégrale ( 2* Pi * y * dx ) avec x allant de 0 à 2 Pi R
Le soucis, c'est qu'en calculant il me reste la variable y dans le résultat, donc forcément c'est faux :/

Conclusion : je sais calculer les intégrales etc ... mais là je ne vois pas comment partir pour calculer ce volume :(