DM d'électricité 1)Régime transitoire

Sujet du devoir

Dans le circuit suivant[E-(L-r)-C-R] où r est la résistance associée à la bobine, le condensateur est initialement chargé sous la tension U(0)=50V.
E=120 V, L=0,2 H, C=100.10^6 F, R=40 Ω, r= 20 Ω.
A t=0, l'interrupteur est fermé (condensateur init. chargé sous 50V)
a) Déterminer les conditions sur uc, q, i, ur et ub pour t<0.
b) Enoncer les règles de continuité.
c) En déduire les conditions initiales sur uc, q, i, ur, ul (tension aux bornes de la bobine) et di/dt.
d) Déterminer les conditions finales sur uc, q, i, ur, ul et di/dt.
e) Etablir l'équa. diff. en q. En dédure l'équa. diff. en i par dérivation de l'équation précédente (attention au signe).
f) Calculer les discriminant réduit de l'équa. en i (unité de delta'), et conclure quant au régime.
g) Donner la solution générale de i(t) et de di(t)/dt. Calculer numériquement Ω et ω0 et σ.
h) En déduire, à l'aide des conditions initiales, le système à 2 équations à 2 inconnues permettant de déterminer les constantes A et φ. Déterminer φ et l'expression de A, puis faire les applications numériques.
i) Tracer qualitativement i(t) en faisant attention aux valeur initiale, finale, à la tangente à l'origine et au régime.

Où j'en suis dans mon devoir

a) uc=50V, q=uc*c= 50*100.10^-6C, i=0, ur=0, ul=0
b) Continuité de l'intensité dans une branche contenant une bobine. Continuité de la charge et de la tension dans une branche contenant un condensateur.
c) uc0=50V, q0=50*100.10^-6C, i0=0, ur0=0, ul0=0.
d) uc∞=120V, q∞=120*100.10^-6C, i∞=0, ur∞=0, ul∞=0.
e) ul+uc+ur=12000.10^-6
<=> L(di/dt)+q/c+Ri=12.10^-3
<=> LC(d²q/d²t)+RC(dq/dt)+q=12.10^-3

LC(d²i/d²t)+RC(di/dt)+i=0

f) (*) r²+2σω0r+ω0²=0
Δ'=ω0²(σ²-1). Pour l'unité de Δ' je trouve des s²Ω² mais je n'en suis pas très convaincu. Je n'arrive pas à trouver une valeur cohérente pour Δ' car je trouve 49997 quelque chose de ce genre, et du coup je suis bloqué pour la suite.