Modélisation d'une molécule diatomique

Sujet du devoir

j'ai un exercice sur le modèle de Morse à faire et je n'arrive pas à finir la première partie et à faire la deuxième.

Voici l'énoncé (très long, mes réponses viennent après):

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On considère une molécule diatomique constituée de deux atomes de masse m et m'. On supposera que m'>>m, de telle sorte qu'on pourra considérer que l'atome de masse m' est immobile. Seul le mouvement de l'atome de masse m sera donc étudié. Les atomes sont considérés comme ponctuels, le point représentant l'atome de masse m' sera noté 0 et sera pris comme origine du repère. On notera M le point représentant l'atome mobile de masse m, et \vec{r}=\vec{OM} son vecteur position. On notera r la norme ||\vec{r}|| du vecteur position.

I. Approximation harmonique

Dans cette partie on suppose que la molécule ne tourne pas. Le mouvement de l'atome M est donc un mouvement de translation à une dimension. L'énergie potentielle V(r) de l'atome M est donnée par le modèle de Morse :
\large V(r)=D(1-e^{-a(r-r_0)})^2,
où D, a et r0 sont des constantes positives.

1) Déterminer la dimension des constantes D, a et r0.

2) Tracer l'allure de la fonction V(r) en fonction de r. Indiquer sur votre graphe les constantes D et r0.

3) Décrire qualitativement le mouvement de M dans le cas où son énergie mécanique E est plus grande ou plus petite que D.

4) Déterminer la position d'équilibre. Est-elle stable? Justifier.

5) L'énergie minimale qu'il faut fournir à la molécule à l'équilibre pour la dissocier est de 5 eV. En déduire la valeur d'une des constantes D, a ou r0.

6) Sachant que la distance d'équilibre de la molécule est de 1.5Ä (angström), déterminer la valeur d'une autre des trois constantes du modèle de Morse.

7) On suppose maintenant qu'au cours de son mouvement l'atome s'écarte faiblement de sa position d'équilibre.

(a) Faire le développement de V(r) dans un voisinage de la position d'équilibre, au second ordre (inclus).

(b) Donner l'expressionde l'énergie mécanique de l'atome et en déduire qu'il peut être modélisé par un point matériel de masse m attaché à un ressort dont on donnera la raideur k et la longuer à vide l0. On exprimera k et l0 en fonction des constantes du modèle de Morse.

(c) Sachant que la pulsation du mouvement de vibration de la molécule est de \omega=2\times10^{13} Hz et que l'atome M est un atome d'Hydrogène, donner la valeur de la raideur k et en déduire la valeur de la troisième constante du modèle de Morse.

II. Avec la rotation

On suppose maintenant que la molécule peut tourner librement dans l'espace. C'est-à-dire que l'atome M peut tourner autour de l'origine O. On fera l'approximation harmonique ,c'est-à-dire que l'énergie potentielle sera approchée par l'expression suivante :
V(r)=\frac{1}{2}m\omega^2(r-r_0)^2

II.1. Préliminaires

1) Montrer que le moment cinétique \vec{L} de l'atome par rapport à 0 est conservé. En déduire que la trajectoire de l'atome M est entièrement contenue dans un plan, que l'on notera Oxy.

2) On repère l'atome M par ses coordonnées polaires (r,), dans un plan Oxy. Donner l'expression de la norme L du moment cinétique, en fonction de m, r(t) et da sa vitesse angulaire \Omega(t)=\frac{d\theta(t)}{dt}.

3) Montrer que l'énergie mécanique E peut s'écrire de la façon suivante :
E=\frac{1}{2}m(\frac{dr}{dt})^2+V_{eff}(r) (1)
où Veff(r) est une énergie potentielle effective dont on donnera l'expression en fonction de V(r), m, r et L.

4) En dérivant l'Eq. (1) par rapport au temps, en déduire l'équation différentielle du second ordre satisfaite par r(t). Puis, en exprimant L en fonction de (t) (voir question II.1.2), écrire cette équation différentielle sous la forme suivante :
\frac{d^2r}{dt^2}+a(t)r+b=0,
où a(t) est une fonction du temps qu'on exprimera en fonction de et de \large \epsilon(t)=\frac{\Omega(t)}{\omega} et où b est une constante que l'on exprimera en fonction de r0 et de .


II.2 Trajectoire circulaire

On suppose que la trajectoire de l'atome est circulaire de centre 0.

1) Montrer que la vitesse angulaire est une constante (i.e. ne dépend pas du temps) que l'on noterae.

2) En déduire la distance re entre l'atome 0 et l'atome M. On exprimera re en fonction de r0 et de \large \epsilon_e=\frac{\Omega_e}{\omega}.

3) En général, les molécules possèdent une fréquence de rotation au moins 100 fois plus faible que leur fréquence de vibration. Comparer re avec r0 et discuter.

Où j'en suis dans mon devoir

I. Approximation harmonique

1) Analyse dimensionnelle, V(r) une énergie donc [D]=ML2T-2. [r0]=[r]=L et comme l'argument de l'exponentielle n'a pas de dimension, on a donc [a]=L-1.

2) Je ne sais pas comment tracer une courbe ici, mais j'ai réussi cette question.
V(r) s'annule pour r=r0, et tend vers D quand r tend vers +. V(r) tend vers + quand r tend vers -.

3) Je n'ai pas vraiment compris cette question, je crois qu'il faut décrire, par rapport au graphique, le "mouvement" de l'atome sur la courbe.
Si c'est ce qu'il faut faire, si ED l'atome tend vers l'infini.
Ma réponse n'est pas claire du tout et n'a probablement aucun sens, je mélange un peu tout.

4) Ici on dérive la fonction et on cherche en quel point elle s'annule, on trouve que la dérivée s'annule pour r=r0. Pour la stabilité de la position d'équilibre, on dérive à nouveau et on regarde le signe de la dérivée seconde pour r=r0. J'ai trouvé :
\frac{dV}{dr}=2Da(e^{-a(r-r_0)}-e^{-2a(r-r_0)})
\large \frac{d^2V}{dr^2}=2Da^2(2e^{-2a(r-r_0)}-e^{-a(r-r_0)})
En r=r0, \frac{d^2V}{dr^2}=2Da^2 donc on a une position d'équilibre stable.

5) D'après l'analyse dimensionnelle réalisée à la question 1), D est l'unique constante ayant la dimension d'une énergie et lorsque r tend vers + , V(r) tend vers D et V(r) tend vers l'énergie de dissociation de la molécule, on a donc D=5eV.

6) La distance d'équilibre correspond à la valeur de r quand on est à la position d'équilibre, on a donc r0=1.5Ä. On a également r0 qui est l'unique constante ayant la dimension d'une distance.

7)

(a) On a V(r)=V(r_0)+(r-r_0)\frac{dV(r_0}{dr}+\frac{(r-r_0)^2}{2}\frac{d^2V(r_0)}{dr^2}.

On trouve V(r0)=Da2(r-r0)2.

(b) Je bloque à cette question. J'ai Em=Ec+Ep donc Em=Ec+V(r) donc :
Em=\frac{1}{2}m\frac{dx}{dt}+Da^2(r-r_0)^2. Je dois relier cette expression à celle du mouvement d'un point matériel attaché à un ressort, mais je n'arrive pas à faire le rapprochement.
Si on dérive l'énergie cinétique, on arrive à m\frac{d^2x}{dt^2}, et l'expression de V(r) me rappelle celle de la force de rappel du ressort mais je n'arrive pas à faire le lien...