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Sujet du devoir
Soit f la fonction de courbe C définie par:f(x)= x²+1/2x (précision 2x est le dénominateur de x²+1)
1)déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.
2)Déterminé la limite de f en + l'infini et en - l'infini
3) déterminé lim f(x) pour x --> 0+
et lim f(x) pour x --> 0-
4) que peu ton en déduire pour la courbe C en x = 0 ?
5) Montrer que la courbe C admet pour asymptote la droite D d'équation y = x/2 au voisinage de l'infini ( on calculera la limite f (x)- x/2 après avoir réduit au même dénominateur)
6)Déterminer la position relative de la courbe C par rapport
à son asymptote oblique D , selon les valeurs de x
7)Calculer la dérivée f ’ de la fonction f
8)Résoudre f ’(x) > 0 en admettant que le signe de f ’ (x)
ne dépend que de l’expression (x – 1) (x + 1) .
9) Déduire le tableau de variation de f sur son ensemble de
définition, en faisant apparaître les éventuels extremums et
limites aux bornes de l’intervalle de définition.
10)Quel est le coefficient directeur des tangentes à la courbe
C aux points d’abscisse - 1 et 1 ? Justifier.
Où j'en suis dans mon devoir
j'avais déja publier cet exercice mais erreur de ma par il manquait une précision sur la question 1 un du coup en refesant l'exercice je me suis pas mal perdu malgré la grande aide de cenedra.2x est bien le denominateur de x²+1
6 commentaires pour ce devoir
f(x)= (x²+1)/2x
1/ f(x) est un quotient donc le dénominateur ne peut pas être nul. donc x=0 est une valeur interdite.
2/ limites à l'infini:
on modifie l'écriture pour lever la forme indéterminée (inf/inf).
f(x)= (x²+1)/2x
f(x)= [x²(1+ 1/x²)]/2x, on simplifie
f(x)= (x(1+ 1/x²))/2
on étudie seulement le numérateur:
à l'infini (+ ou -), 1/x² tend vers 0
donc la parenthèse tend vers 1
donc f(x) tend comme x
en +inf, f(x) tend vers +inf
en -inf, f(x) tend vers -inf.
est-ce que tu as suivi la méthode et compris la simplification?
1/ f(x) est un quotient donc le dénominateur ne peut pas être nul. donc x=0 est une valeur interdite.
2/ limites à l'infini:
on modifie l'écriture pour lever la forme indéterminée (inf/inf).
f(x)= (x²+1)/2x
f(x)= [x²(1+ 1/x²)]/2x, on simplifie
f(x)= (x(1+ 1/x²))/2
on étudie seulement le numérateur:
à l'infini (+ ou -), 1/x² tend vers 0
donc la parenthèse tend vers 1
donc f(x) tend comme x
en +inf, f(x) tend vers +inf
en -inf, f(x) tend vers -inf.
est-ce que tu as suivi la méthode et compris la simplification?
3/ limites autour de 0:
on reprend l'écriture de départ de f(x).
en 0+ (ou en 0 par valeur supérieure), 2x tend vers 0+ et x²+1 tend vers 1;
on a f(x) tend vers 1/0+= +inf (divisé par "proche de 0" donne l'infini, comme 0+ alors +inf)
en 0- (ou en 0 par valeur inférieure), 2x tend vers 0- et x²+1 tend vers 1;
on a f(x) tend vers 1/0-= -inf (idem, 0- alors -inf).
4/ autour de 0: limite en +inf pour 0+ et limite en -inf pour 0-: C admet la droite x=0 comme asymptote verticale
=> idem que la courbe d'équation 1/x (pour t'aider à visualiser).
as-tu suivi?
on reprend l'écriture de départ de f(x).
en 0+ (ou en 0 par valeur supérieure), 2x tend vers 0+ et x²+1 tend vers 1;
on a f(x) tend vers 1/0+= +inf (divisé par "proche de 0" donne l'infini, comme 0+ alors +inf)
en 0- (ou en 0 par valeur inférieure), 2x tend vers 0- et x²+1 tend vers 1;
on a f(x) tend vers 1/0-= -inf (idem, 0- alors -inf).
4/ autour de 0: limite en +inf pour 0+ et limite en -inf pour 0-: C admet la droite x=0 comme asymptote verticale
=> idem que la courbe d'équation 1/x (pour t'aider à visualiser).
as-tu suivi?
on en arrive à la question qui ne "marchait" pas la dernière fois!
5/ calculer la limite de la différence entre f(x) et une équation de droite c'est déterminer que cette droite est une asymptote si la limite tend vers 0.
f(x)- x/2=
(x²+1)/2x -x/2=, même dénominateur
(x²+1)/2x -x²/2x=
(x²+1-x²)/2x=
1/2x
la différence de f(x) et de l'équation de la droite est 1/2x.
il faut maintenant calculer la limite en +inf du résultat pour déterminer si la droite est asymptote.
en +inf, 2x tend vers +inf; 1/2x tend vers 0
donc la droite D est asymptote de C.
et là ça marche!
5/ calculer la limite de la différence entre f(x) et une équation de droite c'est déterminer que cette droite est une asymptote si la limite tend vers 0.
f(x)- x/2=
(x²+1)/2x -x/2=, même dénominateur
(x²+1)/2x -x²/2x=
(x²+1-x²)/2x=
1/2x
la différence de f(x) et de l'équation de la droite est 1/2x.
il faut maintenant calculer la limite en +inf du résultat pour déterminer si la droite est asymptote.
en +inf, 2x tend vers +inf; 1/2x tend vers 0
donc la droite D est asymptote de C.
et là ça marche!
du coup, on peut faire la question suivante.
6/ la position de la courbe C par rapport à la droite D:
f(x)-x/2=,
tu étudies le signe du résultat:
-quand >0 alors C au dessus de D
-quand <0 alors C en dessous de D
7/ la dérivée:
f(x) est du type (u/v) avec u et v deux fonctions
f(x)= (u'v -uv')/v²
avec u= x²+1 , u'=2x
et v= 2x , v'=2
je te laisse faire le calcul
6/ la position de la courbe C par rapport à la droite D:
f(x)-x/2=,
tu étudies le signe du résultat:
-quand >0 alors C au dessus de D
-quand <0 alors C en dessous de D
7/ la dérivée:
f(x) est du type (u/v) avec u et v deux fonctions
f(x)= (u'v -uv')/v²
avec u= x²+1 , u'=2x
et v= 2x , v'=2
je te laisse faire le calcul
8/ tu peux mettre en facteur le numérateur de f'(x).
le dénominateur est un carré donc toujours positif, tu résoud l'inéquation qu'avec le numérateur.
l'aide: (x-1)(x+1)= x²-1, ne serait-ce pas ce que tu as?
donc (x-1)(x+1)>0 pour x appartient à .....
9/ question bilan: le tableau
tu connais tout!
ligne 1: domaine de définition (valeur de x, cf 1/)
ligne 2: signe de f'(x) (cf, 8/)
ligne 3: variation de f(x) (f' positif f croissant; f' négatif f décroissant).
tu connais déjà les limites en inf et autour de 0.
il te reste à calculer f(x) pour les extremums locaux (bref en -1 et 1).
10/ question drôle pour finir:
en -1 et 1, f'(x)=0 (ce sont les racines).
or le coefficient directeur de la tangente en un point est la valeur de la dérivée en ce point.
Donc, les tangentes ont un coefficient directeur nul (ce sont des droites horizontales).
Voilà, exercice terminé!
Tu dois terminer quelques questions, globalement tout est là.
Bon courage
le dénominateur est un carré donc toujours positif, tu résoud l'inéquation qu'avec le numérateur.
l'aide: (x-1)(x+1)= x²-1, ne serait-ce pas ce que tu as?
donc (x-1)(x+1)>0 pour x appartient à .....
9/ question bilan: le tableau
tu connais tout!
ligne 1: domaine de définition (valeur de x, cf 1/)
ligne 2: signe de f'(x) (cf, 8/)
ligne 3: variation de f(x) (f' positif f croissant; f' négatif f décroissant).
tu connais déjà les limites en inf et autour de 0.
il te reste à calculer f(x) pour les extremums locaux (bref en -1 et 1).
10/ question drôle pour finir:
en -1 et 1, f'(x)=0 (ce sont les racines).
or le coefficient directeur de la tangente en un point est la valeur de la dérivée en ce point.
Donc, les tangentes ont un coefficient directeur nul (ce sont des droites horizontales).
Voilà, exercice terminé!
Tu dois terminer quelques questions, globalement tout est là.
Bon courage
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pas de problème, on est reparti avec la nouvelle écriture de f(x).