Inégalité des accroissements finis

D'accord mais  dsl je ne vois pas enquoi ça pourrait m'aider pour la 1

Ca t'aidera car si g est croissante et que b >= a, alors g(b) >= g(a)...

(sachant que l'exo suppose b >= a)

Ah ok d'accord mais le soucis c'est qu'on peut pas prouver que g est croissante puisque qu'on ne connait rien sur f(x)

Pour prouver que g est croissante, tu peux montrer que g' >= 0, où g' s'exprime avec une formule impliquant f', pas f. Ensuite tu utilises l'information de l'énoncé concernant f'

Mais on peut pas utiliser f' pour démontrer que g' >= 0 car dans lénoncé on nous dit que f' est compris entre deux réels et on ne sait pas si ils sont négatifs ou non

Mais as-tu deja calculé g'(x)? Quelle est son expression?

M - f'(x)

Si l'énoncé donne f'(x) <= M, c'est donc que M - f'(x) >= 0 non?

Pas besoin de savoir si M est positif ou négatif.

Ah oui mais oui je suis bête, merci je vais essayer de le faire du coup je vous tiens au courant

Merci de votre aide j'ai réussi à faire les deux premières questions par contre la 3eme question j'ai du mal, j'ai l'impression que la réponse est dans la question j'ai du mal à cerner ce que l'on me demande

La derniere question est bien plus dure à comprendre que les précédentes. Je suis pas sur de pouvoir expliquer clairement mais je vais essayer.

La courbe f passe deja forcément par le point (x0; f(x0)). Ensuite un peu plus loin, "dans un voisinage", on peut encadrer f entre 2 droites, un peu comme ça: https://ibb.co/nGuSm5

Il faut trouver l'équation de ces deux droites qui se croisent en (x0; f(x0)). Imagine que l'une des droites s'écrit y = ax+b, et que l'autre droite y = cx+d. Alors comme f est situé entre les 2 droites, tu dois trouver une inégalité du type

ax+b <= f(x) <= cx+d

Merci de votre réponse, j'ai pu travaillé la question mais je ne parviens toujours pas à trouver les deux equations, avez vous un indice a me donner pour me mettre sur la voie ?

dans l'inégalité donnée dans l'énoncé, on peut essayer de remplacer b par x, et a par x0

Ah d'accord et  j'obtiens ça : mx - mx0 +f(x0)<= f(x) <= Mx - Mx0 + f(x0)

Est-ce que vous pouvez m'aider sur la question sur les suites et puis j'aurais enfin terminer mes devoirs ?

Ah oui excusez moi j'ai oublié de préciser que a>0

Pour Vn+1/Vn je trouve a/n+1 et il faut pas montrer plus tôt que Vn+1/Vn <= 1/2 d'après l'inégalité de l'enoncé ?

Voila ce que j'ai fait : 0 <= Vn+1/Vn <= 1/2 puis j'ai calculé  Vn+1/Vn j'ai trouvé a/n+1 qui est alors infénieur a 1/2 puis j'ai a/n+1 <=1/2 je fais tourner et j'obtiens mon N c'est ça ?

Tout d'abord oui c'est bien Vn+1/Vn <= 1/2 qu'il faut montrer, à partir d'un certain rang N.

La calcul de Vn+1/Vn donne bien a/(n+1).

Ensuite c'est un peu plus dur. Si on veut montrer que Vn+1/Vn <= 1/2, on ne peut pas supposer dès le départ que 0 <= Vn+1/Vn <= 1/2.

La procédure est plutôt de montrer que a/(n+1) <= 1/2 à partir d'un certain rang. Pour ça, on sait que a/(n+1) converge vers 0. Donc il faut revenir à la définition formelle de la convergence que tu as dû avoir vu en cours:

pour tout eps >0 il existe un rang N tel que pour tout n>N, a/(n+1) < eps

Comme c'est vrai "pour tout eps", choisis une valeur précise qui t'arrange pour résoudre l'exo!