Correction contrôle de probabilité en M1. (J'ai déjà passé celui-ci)

Sujet du devoir

Exercice 1:
Soit (X,Y) un couple de variable aléatoire continue de densité:
f(x,y)=C(x^2-y^2)exp(-2x)Id(x,y)
avec Id(x,y)={(x,y)appartienne à R^2 avec x>0, y^2 Soient T=X+Y et U=X-Y
1)Calculer la densité marginale de X. En déduire C et E[X]
2)Pour tout x>0, calculer q(y|x) la densité conditionnelle de Y sachant (X=x). En déduire E[T|X].
3)Calculer la loi du couple (T,U). Que pouvez vous en déduire?
4) Calculer E[T] et cov(T,X)

Exercice 2:
Soit X une variable réelle de loi uniforme sur (0,1) intervalle ouvert et Y la variable aléatoire définie à partir de X par Y=indicatrice de X sur (O,p) ouvert avec p appartient à (O,1)ouvert.
1)Montrer que Y suit une loi de bernouilli de paramètre p
2)Pour tout y appartient à Y(Ώ), déterminer la loi conditionnelle de X sachant (Y=y)
3)Déterminer E[X|Y]
4)Déterminer la loi de E[X|Y] ainsi que son espérance. Quel résultat retrouvez-vous?

Exercice 3:
Soit X1,...,Xn une suite de variables aléatoire indépendantes, suivant chacune une loi de cauchy de paramètre (0,1) admettant pour densité:
pour tout appartenant à R, f(x)= 1/pi(1+x^2)
1)Calculer la fonction caractéristique d'un va réelle admettant pour densité pour tout x appartenant à R, g(x)= (exp(|-x|))/2. En déduire la fonction caractéristique de X1.
2)Déterminer la loi de (X1+...+Xn)/n
3)Commentez le résultat précédent au vu de la loi forte des grands nombres et du théorème central de la limite (que vus aurez soin d'énoncer tout les 2)

Où j'en suis dans mon devoir

Dans le premier exercice je n'ai rien réussi à faire.

Dans le second exercice j'ai fait la première question uniquement;

Dans le troisième exercice, je sais faire la première partie de la première question mais je ne vois pas comment en déduire la fonction caractéristique de X1.