Exercice d'approfondissement avec une fonction auxiliaire

Sujet du devoir

Bonjour, beaucoup de points obscurs pour moi dans cet exercice. Merci de votre aide.

φ est la fonction définie sur R par φ(x)=(2-x)e^x-1

Partie A:

1.
Montrer que la fonction φ est continue et dérivable sur R et étudier le signe de sa dérivée.

2.
Démontrer que la fonction φ s'annule uniquement en deux valeurs α et β de l'intervalle [-2;2]. On prendra α<β .

3.
Étudier le signe de la fonction φ.

Partie B:

1.
Montrer que (e^x)-x ne s'annule pas sur R. On note alors f la fonction f définie sur R par: f(x)= [(e^x)-1]/[(e^x)-x]

2.
Calculer la dérivée de f à l'aide des résultats de la partie A, donner son sens de variation.

3.
Démontrer que f(α)=1/α-1

Où j'en suis dans mon devoir

Parie A:

1. J'ai mis que f est continue et dérivable sur R comme somme et composée de fonctions continue et dérivable sur R.
Pour f'(x), je trouve e^x - e^x * x
sur ] - l'infini ; 1 ] , f est positive
sur [ 1 ; + l'infini [, f est négative
et pour x = 1, f est égale à 0. *A vérifier*

2. Je pense qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais, après 2 pages de brouillon, je n'y suis pas parvenue.

3. D’après le tableau de variation et les réponses à la question 2, sur ] – l’infini ; a [, f est négative, sur ] a ; b [, f est positive et sur ] b ; + l’infini [, f est négative. *A vérifier*

Partie B:

1. je n'arrive pas à le montrer! je suis donc bloquée!