3 questions restantes pour finir un DM de maths sur les logarithmes

Sujet du devoir

Bonjour, j'ai un DM de maths à rendre pour vendredi, il ne me reste que les 3 dernières questions, et j'en profite pour voir si mes solutions sont justes, alors un peu d'aide ne serais pas de refus ^^.

Je vous pose donc l'énoncé:

Soit a un réel strictement positif.

Dans ce problème, on cherche à résoudre dans R+* l'équation (Ea): a^x = x^a d'inconnue x et de paramètre a, équation qui admet évidemment la solution x=a

Pour cela, on utilise les fonctions:

fa: x → x^a ; ga: x → a^x et ha: x → xlna-alnx

A Etude des cas particuliers

1. On suppose a=e
a. Dresser le tableau de variation de la fonction he
b. En déduire la résolution de l'équation (Ee)
c. Démontrer que l'on a (x)/(lnx)>= e

B Etude du cas 0
1. Dresser le tableau de variation de la fonction fa-ga.
2. En déduire que l'équation (Ea) n'a pas d'autre solution que la solution a.

C Etude du cas a>1 et a différent de e

1. Dresser le tableau de variation de la fonction ha.
2. Déduire du 1 et de la question A1c que ha admet un minimum strictement négatif.
3. En déduire que l'équation (Ea) admet exactement deux solutions a et b
4. Démontrer que l'on a toujours b>1 et que l'on a be.

Où j'en suis dans mon devoir

A/
1-a) x^e = e^x

he(x)=xlne-elnx
he(x)= x-elnx
he'(x)=1-(e)/(x)=(x-e)/x

Pour x appartenant à ]0;e[
he'(x) est négatif donc he(x) est décroissant

Pour x = e

he'(x)=0 et he(x)=0

Pour x appartenant à ]e;+oo[

he'(x) est positif donc he(x) est croissant

b)
x solution de (Ee) ssi

x^e=e^x
lnx^e=lne^x
elnx=x
he(x)=0

D'après le tableau de variation présent à la question précédente, la seule solution est e.

c)

Pour tout x>0 ; he(x)>=0
x-elnx>=0
x>=elnx

Pour tout x>1 ; x/lnx>=e car lnx>=0 pour x>1 donc on ne change pas le sens de l'inégalité.


B/

1. y(x)= x^a-a^x=e^(alnx)-e^(xlna)
y'(x)=(a/x)e^(alnx)-lna * e^(xlna)

(a/x) est positif car x>0 et a appartient à ]0;1[
e^(alnx) est positif
lna est négatif car a appartient à ]0;1[
e^(xlna) est positif

On a donc positif moins négatif y'(x)>0
Donc ya croît sur R+* avec ya=0 pour x=a

2. x=a est une solution évidente de l'équation x^a=a^x c'est à dire ya(x)=0.
Ya est strictement croissante, égale à 0 pour x=a, donc l'équation ya (x)=0 n'a qu'une seule solution et donc l'équation (Ea) aussi.

C/

1. ha(x)=xlna-alnx
ha'(x)= lna-(a/x)=xlna-a/x
ha'(x)=0 ssi xlna-a=0
x=a/lna

Pour x appartenant à ]0;a/lna[

ha'(x) est négatif donc ha(x) est décroissant
Pour x=(a/lna)

ha'(x) =0 =ha(x)

Pour x appartenant à ]a/lna; +oo[

ha'(x) est positif donc ha(x) est croissante