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Sujet du devoir
Bonjour, voici un exercice qui me pose problème : est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment le résoudre ? Merci :)
1. On suppose que le couple (m;n) vérifie : 3^m=(2^n)+1 et que n >= 4.
a) Montrer que pour tout entier naturel k, 3^(4k) congru à 1 modulo 16.
b) En déduire que m est divisible par 4.
Pour la suite, on pourra écrire 81^p-1=2^n.
c) Montrer alors que 5 divise 2^n.
2. En déduire alors tous les couples d'entiers naturels (m;n) vérifiant 3^m=2^n+1.
Où j'en suis dans mon devoir
1. a) J'ai réussi.
b) Je ne sais pas si c'est correct mais voilà ce que j'ai écrit :
On a : 3^m=2^n+1
Soit : 3^m est congru à 1 modulo n.
Or, n peut être égal à 16. Soit : 3^m congru à 1 modulo 16.
Par ailleurs, 3^(4k) congru à 1 modulo 16.
On en déduit que 3^(4k)=3^m
Soit : m=4k
M est donc divisible par 4.
Je ne sais pas si c'est vrai...
Merci à vous :)
2 commentaires pour ce devoir
Je pense que tu as fait le plus dur dans la question 1a, une fois que tu sais que 3^4K % 16 = 1 et que 3^m=(2^n)+1
3^m = (2^n)+1 = 16 * 2^(n-4) + 1 qui est bien entendu congru à 1 modulo 16. (avec n>=4)
donc terme à terme m = 4K.
As tu noté que 81^p-1=2^n est simplement la réécriture de 3^4K % 16 = 1 ?
Pour prouver que 5 divise 2^n, il va falloir prouver que 81^p % 5 = 1
Or 81^p = (5*16 + 1) * [.... p fois] * (5*16 + 1) = 5 [X] + 1
Pour la dernière question, ça se corse un peu mais comme souvent ton dernier résultat t'aidera à prouver le suivant. Quels sont les valeurs de n pour laquelle 2^n est divisible par 5 (des puissances de 2, donc...)
Attention, la dernière question n'impose aucune valeur de n >=4. tout l'exercice se basait sur ces grands nombres mais il peut y avoir une solution quand n est entre 1 et 3
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Bonjour!
1b/ Pour ma part je pense qu'il faut plutôt commencer ainsi:
si n>=4 alors 2^n congru à 0 modulo 16
donc 2^n + 1 congru à ... modulo 16
donc 3^m congru à ... modulo 16
Or 3^(4k) congru à ... modulo 16
Donc m = 4k
Essaie de compléter les ...