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Sujet du devoir
Bonsoir, j'ai un devoir pour jeudi sur les Nombres de Fermat, je comprends a peu pres, mais j'ai beaucoup de mal avec les démonstration =/ alors merci pour votre aide :))On appelle nombre de Fermat les entiers Fn=2^(2^n) +1 avec n appartient a N. En 1640, le mathématicien Pierre de Fermat pensait que les nombres Fn sont tous premiers.
1.Vérifier que les entiers Fj sont premiers pour 0 <= j <= 4. Qu'en ai - t - il pour F5?
2. Vérifier que tous les nombres de Fermat sont impairs.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier n=>1, on a : F0F1....Fn-1=Fn-2
4.Etablir que pour tout entier naturel k , on a : F(n+k)-1= (F(n)-1)^2^k
5. En déduir que deux nombres de Fermat distincts n'ont pas de facteur premier commun.
6. Retrouver alors l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers.
Où j'en suis dans mon devoir
1. On vérifie que Fj est premier pour : j=0,1,2,3, et 4 :F0=3
F1=5
F2=17
F3=257
F4=65 537
==> toujours premiers
F5 n'est pas premier car il s'écrit sous la forme : 4 294 967 297=641k avec k un entier
2. Je vois ce qu'il faut dire, et je comprend pourquoi, mais je ne peut pas l'expliquer: en fait 2 x un nombre sera toujours pair, mais en ajoutant 1 a chaque fois sa devient impair
( besoin d'aide pour l'explication svp :(
3.
4.
5.
6.
Merci de m'aider à comprendre:))
7 commentaires pour ce devoir
*je rectifie
3.démonstration par récurrence
vérifie que la proposition est vraie au rang 1:a-t-on F1 -2=F0?
on suppose que Pn est vraie soit Fn -2=F0*F1*F2..*(Fn-1)
démontrer que Pn+1 est vraie
Fn+1 =2^(2^n+1) +1
en utilisant les règles de calcul sur les puissances,montre que
2^(2^n+1) =[2^(2n)]²
or 2^(2n)=Fn -1
d'où Fn+1 = (Fn -1)²+1
essaie de faire apparaître Fn -2 qui vaut F0*F1*..Fn-1 d'après l'hypothèse de récurrence
3.démonstration par récurrence
vérifie que la proposition est vraie au rang 1:a-t-on F1 -2=F0?
on suppose que Pn est vraie soit Fn -2=F0*F1*F2..*(Fn-1)
démontrer que Pn+1 est vraie
Fn+1 =2^(2^n+1) +1
en utilisant les règles de calcul sur les puissances,montre que
2^(2^n+1) =[2^(2n)]²
or 2^(2n)=Fn -1
d'où Fn+1 = (Fn -1)²+1
essaie de faire apparaître Fn -2 qui vaut F0*F1*..Fn-1 d'après l'hypothèse de récurrence
Ok merci, mais je vois pas du tout comment passer de
2^(2^n+1) à [2^(2n)]² ?
2^(2^n+1) à [2^(2n)]² ?
2^n+1 =2*2^n
2^(2^n+1)=2^(2*2^n) = [2^(2n)]² car (x^p)^q =x^(p*q)
2^(2^n+1)=2^(2*2^n) = [2^(2n)]² car (x^p)^q =x^(p*q)
ah ok je comprends mieu merci
Pour la fin, si je met: F(n-1)*n -2 = Fn -2 soit F0*F1*...*F(n-2)=n -2
Donc:
Fn -2=F0*F1*..Fn-1
C'est bon ou pas?
Donc:
Fn -2=F0*F1*..Fn-1
C'est bon ou pas?
tu veux démontrer que (Fn+1) -2=F0 *F1 *F2 *..Fn
Fn+1 = (Fn -1)²+1
=(Fn)² -2Fn +1 +1
Fn+1 = (Fn -1)²+1
=(Fn)² -2Fn +1 +1
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2^(2^n) =2 *2^(2^n-1) =2k avec k =2^(2^n-1)
d'où Fn=2^(2^n) +1 =2k+1
3.démonstration par récurrence
vérifie que la proposition est vraie au rang 1:a-t-on F1=F0-2?
on suppose que Pn est vraie soit Fn=F0*F1*F2..*(Fn-1) -2
démontrer que Pn+1 est vraie
Fn+1 =2^(2^n+1) +1
en utilisant les règles de calcul sur les puissances,montre que
2^(2^n+1) =[2^(2n)]²
or 2^(2n)=Fn -1
d'où Fn+1 = (Fn -1)²+1
essaie de faire apparaître Fn -2 qui vaut F0*F1*..Fn-1 d'après l'hypothèse de récurrence