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Sujet du devoir
Bonjour j'aurai besoin d'aide pour cet exercice :
Démonter que, pour tout réels strictement positifs x et y, on a :
(x/y) + (y/x) ≥ 2
Où j'en suis dans mon devoir
Je ne comprend pas du tout comment faire.
2 commentaires pour ce devoir
Alors, je te propose de le faire comme ca:
Premièrement, il faut multiplier l'équation par x et par y (pour enlever les fractions).
Après, tu obteniras x^2 + y^2 > ou = 2xy.
Et maintenant, pensons-en un peu. Il y a deux possibilités.
Si x=y, puis on a x^2 + x^2 = 2x^2, ce qui est égal.
Si x<>y, puis un de ces nombres est plus grand, alors, disons que x>y.
Alors, il y existe quelque nombre a, qui est strictement positif, pour laquelle x = y+a.
Alors, on va remplacer x par y+a.
On obtenira
(y+a)^2 + y^2 > ou = 2(y+a)y
y^2 + 2ay + a^2 + y^2 > ou = 2y^2 + 2ay, on peut soustraire 2y^2 et 2ay, et il y nous reste
a^2 > ou = 0, ce qui est vrai. Comme tous les modifications étaient équivalentes, il est aussi vrai que
x^2 + y^2 > ou = 2xy
Ils ont besoin d'aide !
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tu dois démontrer
(x/y) + (y/x) ≥ 2
je te propose de démontrer (x/y) + (y/x) -2≥0
Pour cela mets tout sous le même dénominateur xy.
Comme xy est positif il suffira de vérifier que le numérateur que tu a trouvé est positif.
Cela te paraitra évident car tu reconnaitre le carré d'un nombre(produit remarquable)