Congruences, solutions entières

Sujet du devoir

Bonjour, voici deux exercices d'un DM de maths que je n'arrive pas à terminer... Merci de votre aide :)

Exercice 1 :

Soit x un entier naturel non nul, multiple de 6. Soit p un nombre premier divisant x^2+x+1. On sait que p s'écrit sous la forme 6n+1 ou 6n+5 et que x^3 est congru à 1 modulo p et que x^6n est congru à 1 modulo p.

1. On suppose que p=6n+5, montrer que x est congru à 1 modulo p. Que vaut alors p? On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.

2. Déduire de ce qui précède que p divise x^2+x+1 et est de la forme 6n+1.

3. Soit un entier N>3. On pose x=N! (! la fonction factorielle). Prouver que p>N. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6n+1.

Exercice 2 :

1. L'équation 2x^2-2x+1=0 a-t-elle des solutions dans R et dans Z ?

2. On s'intéresse à l'équation 2x^2-2x+1 congru à 0 modulo 5. Vérifier que -1, 2 et 4 sont des solutions.

3. Montrer que l'équation est équivalente aux équations : (E_k)2x^2-2x+1-5k=0 où k appartient à Z.

4. Montrer que pour qu'une équation (E_k) ait des solutions entières, il faut qu'il existe un entier n tel que n^2+1 est congru à 0 modulo 10. Déterminer tous les n possibles.

5. Déterminer toutes les solutions de l'équation 2x^2-2x+1 congru à 0 modulo 5.

Merci pour votre aide :)

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1 :

J'ai montré que x est congru à 1 modulo p. Mais je n'arrive pas à faire le reste de la question et les autres questions.

Exercice 2 :

J'ai répondu aux 3 premières questions. Ce sont les deux dernières qui me posent problème.

Merci...