Écriture décimale - Suites

Sujet du devoir

Posté par Sil

Bonjour, j'ai un exercice de math à rendre pour mardi et j'ai quelques questions que je ne comprends pas. Merci de bien vouloir m'aider.

On sait que l'écriture décimale d'un nombre rationnel est soit finie, soit périodique à partir d'un certain rang. Par exemple, 15/4 = 3,75 : écriture décimale finie; et 15/11 = 1,36 36 36... : écriture décimale illimitée avec une période de longueur 2. Réciproquement toute écriture décimale illimitée périodique à partir d'un certain rang est l'écriture décimale d'un nombre rationnel.
Par conséquent, 3,326 236 236... avec une période de longueur 3 est l'écriture décimale d'un nombre rationnel. On veut retrouver ce rationnel r.

1. Justifier que r= 3 + 236*10-3 + 236*10-6 + 236*10-9 + ...

2. On pose u1 = 236*10-3, u2 = 236*10-6, u3 = 236*10-9 + ...
Montrez que la suite (un) ainsi définie est une suite géométrique dont on donnera la raison q.

3. Exprimez Sn = u1 + u2 + ... + un en fonction de n.

4. Déterminez la limite de (Sn).

5. Donnez l'écriture fractionnaire de r.

Où j'en suis dans mon devoir

Pour la 1., comment justifier cela ?

2. Je pose un+1/un et je trouve 1/1000 pour u2/u1 et u3/u2 et q=10
Juste ?

3. Je pose Sn = u0* (1-qn+1/1-q)
Juste ?

4. Je trouve plus l'infini car q=10 donc > 1
Juste ?

5. Comment donnez l'écriture fractionnaire de r, je ne connais pas n.