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Sujet du devoir
Soit la suite (Un) n>0 (et égal) définie par U0=1 et Un+1= Un+2n+3 pour tout entier naturel n.1. calculer les 6 premiers termes de cette suite.
2.conjecturer le sens de variations de (Un). Démontrer ensuite la conjecture trouvée quant à la monotonie de la suite (Un.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un>n².
4. Conjecturer une expression de Un en fonction de n, puis démontrer par récurrence la propriété ainsi conjecturée.
Où j'en suis dans mon devoir
1. U0= 1 U1= 6 U2= 13 U3= 22 U4= 33 U5= 462. la suite (Un) doit être nettement croissante.
Un+1 - Un = 2n+3
n>0 donc 2n+3 est positif.
On peut donc dire que la suite (Un) est croissante.
3. j'ai amorcé le début de ma démonstration par récurrence mais je bloque sur la démonstration au niveau de l'hérédité... et ne suis pas sur si mon objectif final est bien Uk+1 > (k+1)²
Voila merci d'avance pour votre aide.
4 commentaires pour ce devoir
pour finir c'est bon j'ai trouvé =) je me suis fixé comme objectif de montrer que Uk+1 > (k+1)² et ai ma démonstration ressemble à ca :
sachant que Uk+1=Uk+2k+3
Uk>k²
Uk+2k>k²+2k
Uk+2k+3> k²+2k+3 soit (k+1)²+2
d'où : Uk+1 > (k+1)²+2 > (k+1)²
Donc Uk+1 > (k+1)²
l'hérédité est donc acquise
Conclusion : la propriété est initialisée à n=0 et héréditaire par principe de recurrence, elle est vraie pour tout n>0
sachant que Uk+1=Uk+2k+3
Uk>k²
Uk+2k>k²+2k
Uk+2k+3> k²+2k+3 soit (k+1)²+2
d'où : Uk+1 > (k+1)²+2 > (k+1)²
Donc Uk+1 > (k+1)²
l'hérédité est donc acquise
Conclusion : la propriété est initialisée à n=0 et héréditaire par principe de recurrence, elle est vraie pour tout n>0
Maintenant c'est la question 4 qui me pose problème... parce qu'il n'y a aucune autre expression de Un qui parle là...
la question 4 est: conjecturer une expression de Un en fonction de n, puis démontrer par récurrence la propriété ainsi conjecturée.
Ils ont besoin d'aide !
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bien fait pour le 1 et 2
pour le 3);
U0=1>0^2 vérifiée
supposons que pour tout entier naturel n, Un>n^2.
et montrons que U(n+1)>(n+1)^2
en fait;
Un>n^2 ajoutons (2n+3) pour les deux membres
==>U(n+1)>n^2+2n+1+2
==>U(n+1)>[(n+1)^2+2]>(n+1)^2 donc on aura: pour tout entier naturel n, Un>n^2.
pour4) j'en pense.
a+