Dérivation et Théorème des valeurs intermédiaires :

Sujet du devoir

Exercice 3 : T.V.I pour déterminer un prix d'équilibre.

Une nouvelle console de jeux est mise sur le marché. Soit x le prix unitaire en centaines d'euros de cette console.
La fonction d'offre des fournisseurs (en milliers de consoles) est la fonction f définie sur [0;6] par f(x)= 5+0.9x+0.45xcube.
La fonction de demande des consommateurs ( en milliers de cnsoles) est la fonction g définie sur [0;6] par g(x)=50/(x+1).
Note : On rappelle que sur un marché concurrentiel, le prix d'équilibre d'un objet est le prix pour lequel l'offre est égale à la demande. C'est le prix qui en égalisant les quantités d'offertes et les quantités demandées permet de réaliser le maximum d'échanges.

1)Les courbes représentatives Cf et Cg des fonctions f et g sont tracées dans le repère orthogonal ci-contre.
a. Indentifier les courbes Cf et Cg en expliquant votre choix. ( Nous avons un graphique avec le problème).
b. Sur le graphique, placer le point A, point d'intersection de Cf et Cg, et lire ces coordonnées. Que représente le point A d'un point de vue économique ?

2) Pour déterminer les coordonnées de A de façon plus précise, on est amené à résoudre l'équation f(x)=g(x). Pour tout x de [0;6], on pose : h(x)=f(x)-g(x).
a.Démontrer que h'(x)= 0.9+1.35x²+50/(x+1)².
b.Déterminer le signe de h' et le sens de variation de la fonction h.
c. Démontrer que l'équation h(x)=0 admet une unique solution alpha sur l'intervalle [2;3], puis à l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie au centième de alpha.
d. En déduire le prix d'équilibre du marché de cette console en euros et le nombre de consoles échangées à ce prix. (arrondir au centaine).

Où j'en suis dans mon devoir

1)a. Je ne sais pas. Je pensais m'appuyer sur la calculatrice.
b. A(2.5;12].
Le point A représenterait le prix d'équilibre.
2)0.45x exposent 4 +0.45xcube+0.9x²+5.9x-45/(x+1).
a. J'ai trouvé la même chose en dérivant séparément g(x) et f(x) puis après en faisant la soustraction entre les deux.
b. C'est pour l'étude de signe de h' que je bloque. Comment faire pour résoudre h'(x)=0 ?