Dérivée d'une fonction avec ln x

Sujet du devoir

La courbe C est celle d'une fonction g définie sur l'intervalle ]0;21].
La tangente à C au point d'abscisse 1 passe par l'origine et la fonction g atteint son maximum en e².
On note g' la fonction dérivée de g.

1°/ et 2°/ Lectures et résolutions graphiques.

3°/ On admet que, pour tout x€ ]0;21] : g(x)= -4+ax(3-b ln x) où a et b sont deux nombres à déterminer.

a/ Montrer que g'(x)=a[3-b(1+ln x)].
b/ A l'aide des valeurs g(1) et g'(1) obtenues à la question 1°, déterminer a et b.

Où j'en suis dans mon devoir

Questions 1°/ et 2°/ terminées.

Pour 3°/ a/, je trouve :

g(x)= -4+ax(3-b ln x))

g'(x)= 0+a(0-b*1/x) c'est-à-dire
g'(x)= a(-b/x)

Mais visiblement, je fais fausse route.
Quelqu'un peut-il m'éclairer sur cette situation ?

Merci d'avance !