devoir maison impossible

Sujet du devoir

Exercice no 1. Construction à la règle et au compas du pentagone régulier. On considère le polynôme P d’expression : ∀z ∈ C,P(z) = z5 − 1, le complexe ω = ei
2π 5 et l’équation
(E) z5 = 1 (on remarquera que les solutions de (E) sont les racines de P.)
1. Résolution de (E) et factorisation de P.

(a) Soit z une solution de (E). Que vaut nécessairement |z|?

(b) Vérifier que, pour tout entier naturel n, ωn est solution de (E).

(c) Soit n ∈N, montrer que ωn+5 = ωn.

(d) En déduire que l’ensemble des solution de (E) est S = {1,ω,ω2,ω3,ω4}. (On rappelle que tout polynôme de degré n admet au plus n racines distinctes.)

(e) En déduire que P s’écrit ∀z ∈C, P(z) = (z−1)(z−ω)(z−ω2)(z−ω3)(z−ω4).

Note : Ces solutions sont appelées racines cinquièmes de l’unité.

2. (a) Montrer d’autre part que ∀z ∈C,P(z) = (z−1)(1 + z + z2 + z3 + z4).

(b) En déduire la valeur de 1 + ω + ω2 + ω3 + ω4.

3. Détermination de cos€2π 5 Š. On pose u = ω + ω et v = ω2 + ω2.

(a) Montrer que ω = ω4 et ω2 = ω3.

(b) En déduire que u + v = −1 et uv = −1, puis déterminer u et v. (On rappelle que : (u,v) est solution d’un système avec somme s et produit p ssi u et v sont racines du polynôme x2−sx+p).

(c) En déduire que cos2π 5 ‹= −1 +√5 4

4. Construction du pentagone. Le plan complexe est muni d’un repère (O;→− u ,→− v ). [Unités graphiques : 6cm]. On appelle Ωn les points d’affixes respectives ωn.

(a) Placer Ω0(1),J(i) et M1 2‹(on fera la figure sur feuille blanche).

(b) Soit C le cercle de centre M passant par J. Calculer l’affixe du point d’intersection N du cercle C avec la demi droite [OΩ0).

(c) En déduire le tracé à la règle et au compas de H‚−1 +√5 4 Œ, puis de Ω1 et Ω2. On laissera les traits de construction utiles et on donnera un plan de construction sur la copie.

(d) Placer Ω3 et Ω4 et tracer le pentagone Ω0Ω1Ω2Ω3Ω4.

Où j'en suis dans mon devoir

1.a)  fait