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Sujet du devoir
Alors voilà en" math spe" ( spécialité math) on apprend l'arithmétique...Je vous donne le sujet:Soit n un entier naturel.On appelle A(n) le nombre n(n+1)(n+2)
1.Démontrer que pour tout entier naturel n, A (n) est divisible par 3
Où j'en suis dans mon devoir
Donc on a appris plusieurs propriétés et théorèmeJ'ai déjà réfléchi sur le problème mais en vain, voilà ce que j'ai fais jusqu'à présent:
On pose (n+1) = k et (n+2)=k'
soit nkk'
Comme n et k ne sont pas de même parité nk est divisible par 2
de même k et k' ne sont pas de même parité kk' est divisible par 2
Ainsi n et k' est divisible par 2 ( grâce à la propriété)
..Voilà mais ca ne m'avance a rien car on cherche avec 3 et non 2 --'
Merci de votre aide
11 commentaires pour ce devoir
salut
utiliser le raisonnement par récurrence
1) vérifier que A(1) est divisible par 3 (ou A(0) les deux sont corrects).
2) supposer que A(n) = n(n+1)(n+2) est divisible par 3
3) montrer que A(n+1) reste divisible par 3
avec A(n+1)=(n+3)(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)=A(n)+B(n)
avec A(n) déja divisible par 3 (voir 2)) et
B(n)=3(n+1)(n+2) envident qu'il divisible par 3
donc leur somme sera aussi divisible par trois.
ainsi A(n) sera toujours divisible par 3 quelque soit le n.
a+
utiliser le raisonnement par récurrence
1) vérifier que A(1) est divisible par 3 (ou A(0) les deux sont corrects).
2) supposer que A(n) = n(n+1)(n+2) est divisible par 3
3) montrer que A(n+1) reste divisible par 3
avec A(n+1)=(n+3)(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)=A(n)+B(n)
avec A(n) déja divisible par 3 (voir 2)) et
B(n)=3(n+1)(n+2) envident qu'il divisible par 3
donc leur somme sera aussi divisible par trois.
ainsi A(n) sera toujours divisible par 3 quelque soit le n.
a+
Merci pour votre aide a000
bonjour niceteaching, vous avez utilisez la propriété suivante?
a. Si c divise a alors c divise ab? ...
Juste une question comment peut on être sûr que l'un est le multiple de 3 c'est parce qu'il sont suivi? c'est à dire qu'étant donné qu'on rajoute 1 à chaque fois soit n divisible, soit n+1 divisible , soit n+2 divisible...
une dernière question peut on dire que si A(n) divisible par 3
alors A (n) divisible par 6?
(C'est le livre Maths, Collection pixel , édition 2008; que l'on utilise en spécialité )
a. Si c divise a alors c divise ab? ...
Juste une question comment peut on être sûr que l'un est le multiple de 3 c'est parce qu'il sont suivi? c'est à dire qu'étant donné qu'on rajoute 1 à chaque fois soit n divisible, soit n+1 divisible , soit n+2 divisible...
une dernière question peut on dire que si A(n) divisible par 3
alors A (n) divisible par 6?
(C'est le livre Maths, Collection pixel , édition 2008; que l'on utilise en spécialité )
Ah oui c'est la page 25 n °1
Parmi trois entiers consécutifs, il y en a un qui est nécessairement multiple de 3.
De même, il y en a un qui est nécessairement pair donc multiple de 2. Par conséquent A(n) divisible par 3 et par 2, qui sont premiers entre eux, donc A(n) divisible par 6.
Autre formulation : A(n) est pair car n(n+1) est pair. Par ailleurs A(n) est multiple de 3, donc multiple de 6.
Si n est pair, alors n(n + 2) est multiple de 4 et
A(n) est multiple de 12.
La récurrence ne s'impose franchement pas ici ; elle alourdit considérablement le raisonnement.
Niceteaching, prof de maths à Nice
De même, il y en a un qui est nécessairement pair donc multiple de 2. Par conséquent A(n) divisible par 3 et par 2, qui sont premiers entre eux, donc A(n) divisible par 6.
Autre formulation : A(n) est pair car n(n+1) est pair. Par ailleurs A(n) est multiple de 3, donc multiple de 6.
Si n est pair, alors n(n + 2) est multiple de 4 et
A(n) est multiple de 12.
La récurrence ne s'impose franchement pas ici ; elle alourdit considérablement le raisonnement.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Merci beaucoup niceteaching, ca commence à s'éclaircir, je crois avoir compris..
merci encore =D
merci encore =D
Tant mieux.
Je te propose la correction de l'exo 2 pour encore plus t'éclairer.
Soit n un entier relatif.
7 divise 35, donc 7 divise 35n.
Si 7 divisait 35n + 2, alors il diviserait 35n + 2 – 35n, c’est-à-dire 2.
Cette assertion est fausse donc 7 ne divise pas 35n + 2.
Niceteaching, prof de maths à Nice
Je te propose la correction de l'exo 2 pour encore plus t'éclairer.
Soit n un entier relatif.
7 divise 35, donc 7 divise 35n.
Si 7 divisait 35n + 2, alors il diviserait 35n + 2 – 35n, c’est-à-dire 2.
Cette assertion est fausse donc 7 ne divise pas 35n + 2.
Niceteaching, prof de maths à Nice
...Merci , mais en fais il fallait aussi le faire...je comptais le faire enfin je vais le faire ensuite je m'aiderai de votre correction
Merci ,
PS:( Pourriez vous m'aider au cours de l'année si j'ai une difficulté vu que nous avons le même livre...)
Merci encore
Merci ,
PS:( Pourriez vous m'aider au cours de l'année si j'ai une difficulté vu que nous avons le même livre...)
Merci encore
Dans l'immédiat, je n'ai pas trop de corrections et mes cours sont pour la plupart déjà préparés mais je ne peux te garantir de toujours trouver le temps nécessaire et indispensable pour t'aider. Je ferai bien naturellement mon maximum comme je m'évertue aussi à soutenir tes camarades.
Il te faudra me rappeler ton livre ; j'en ai des cargaisons à la maison, au grand dam de ma femme !
Niceteaching, prof de maths à Nice
Il te faudra me rappeler ton livre ; j'en ai des cargaisons à la maison, au grand dam de ma femme !
Niceteaching, prof de maths à Nice
Merci
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n(n+1)(n+2) est le produit de 3 nombres consécutifs dont, obligatoirement, l'un est multiple de 3. Par conséquent, le produit est divisible par 3.
Bonne continuation. Je serais intéressé de savoir où se trouve cet exo : manuel + édition ? page ? n° d'exo ?
Niceteaching, prof de maths à Nice