Dm de math important

u^2-5u+4=0 et u=z+(1/z)

il suffit de remplacer, dans la 1° équation, u par  z+(1/z)

puis de s'arranger pour ne plus avoir z au dénominateur

Bonsoir ;

On se propose de résoudre dans C l'équation: 

z^4-5z^3+6z^2-5z+1=0

1) verifier que 0 n'est pas solution de (E) .

Supposons que 0 est solution de l'équation , donc 0^4-5*0^3+6*0^2-5*0+1=0 ce qui n'est pas le cas , car 0^4-5*0^3+6*0^2-5*0+1=1 et non 0 , donc 0 n'est pas solution de l'équation .

2) montrer que (E) est équivalent au systeme : u^2-5u+4=0 et u=z+(1/z)

z^4-5z^3+6z^2-5z+1=0 équiv z²(z²-5z+6-5/z+1/z²)=0 équiv z²-5z+6-5/z+1/z²=0

équiv (z²+1/z²)-5(z+1/z)+6=0 équiv (z²+1/z²+2*z*1/z-2)-5(z+1/z)+6=0

équiv (z²+1/z²+2*z*1/z)-2-5(z+1/z)+6=0 équiv (z+1/z)²-5(z+1/z)+4=0

équiv u²-5u+u=0 avec u=z+1/z .

3) résoudre dans C l'equation u^2-5u+4=0. On note u1 et u2 ses soutions.

Le discriminant du trinôme est Delta=25-16=9 : u1 et u2 sont maintenant à portée de la main.

4) resoudre dans C les equations u1=z+1/z et u2=z+1/z. En deduire les solutions dans C de E.

On aura pour u1=z+1/z l'équation z²-u1*z+1=0 et pour u2=z+1/z l'équation z²-u2*z+1=0 , qui donneront en tout quatre solutions dans C .