DM de maths

Sujet du devoir

Droite d'Euler. Soit un triangle ABC avec A, B et C non-alignés ; A' le milieu de [BC], B' le milieu de [AC] et C' le milieu de [AB]. On note G le centre de gravité de ABC,                                     

                                                    →      →     →   →

(c'est-à-dire le point tel que : GA + GB + GC = 0 ) et O le centre de son cercle circonscrit.

Enfin, on note H le point définit par :         

→       →      →    →

OH = OA + OB + OC

                                   →          →

1) Démontrer que : AH = 2 OA' .

2) Déduire du 1) que (AH) ⊥ (BC)

3) S'inspirer du 1) et du 2) pour démontrer que les trois hauteurs du triangle ABC sont concourantes en H.                     

                                 →          →

4) Démontrer que OH = 3 OG, qu'en déduire sur les points O, G et H ?