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Sujet du devoir
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :
5^n > 2^n + 3^n.
Où j'en suis dans mon devoir
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2:
5^n > 2^n + 3^n
Initialisation: L'inégalité est vraie au rang n=2
car 5²=25, 2²+3²=13 et 25>13
on a donc bien 5²>2²+3²
Hérédité: Soit n appartenant à N tel que n>=2, supposons que 5^n > 2^n + 3^n
montrons que 5^(n+1) > 2^(n+1) + 3^(n+1)
Preuve: 5^n > 2^n + 3^n
Et là, je ne sais pas comment continuer... J'ai tenté quelque chose, mais je ne sais pas...
5^n > 2^n + 3^n
<=> 5^n - 2^n - 3^n > 0
4 commentaires pour ce devoir
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Pour prouver par récurrence, tu vas avoir besoin de te servir de ton hérédité au niveau n lors des calculs pour n+1.
Je ne sais pas si c'est dans les règles de l'art, mais voila ce que je trouve :
5^(n+1) > 3^(n+1) + 2^(n+1)
5 (5^n) > 3 * 3^n+ 2*2^n
5(5^n) > 2 (3^n+2^n) + 3^n
5^n > 2/5 (3^n+2^n) + 3^n / 5
Sachant la preuve, on peut poser
(3^n+2^n) > 2/5(3^n+2^n) + 3^n /5
3/5 (3^n+2^n) > 3/5 * 3^(n-1)
(3^n + 2^n) > 3^n-1 => cela est évident puisque 3^n > 3^n-1
Tous les calculs sont vrais car ce sont des entiers positifs (pas de changement de signe ou autres).
Est ce que cela te semble correct ? qu'est ce que tu avais tenté ?
Salut !
Merci déjà pour ton aide, mais il y a quelques passages que je ne comprends pas...
Pourrais-tu ajouter des explication stp, ce serait cool de ta part :)
Je reprends les 7 lignes de mes calculs (de L1 à L7)
Pour L2, tu connais a^(n+1) = a^1 * a^n ? C'est ce que j'ai utilisé.
Ensuite sur L3, j'ai cherché une factorisation qui me donnerait 3^n+2^n, donc j'ai transformé
3 * 3^n+ 2*2^n = 1*3^n + 2*3^n+2*2^n = 3^n + 2(3^n+2^n).
L4, je divise simplement tout par 5. (ce n'était pas indispensable en fait)
pour L5, je remplace 5^n par 3^n+2^n, puisque c'est la preuve de la récursion.
L6, le fais passer 2/5(3^n+2^n) à gauche, donc (1-2/5)(3^n+2^n) donne 3/5(3^n+2^n). Je transforme 3^n/5 en 3/5 * 3^(n-1) de façon à me retrouver avec 3/5 des deux cotés. Comme pour la L2, j'ai utilisé a^n = a*a^(n-1).
L7, c'est simplement la suppression des 3/5 des deux cotés.
Merci beaucoup pour ton aide !!
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