DM équation differentiel

Sujet du devoir

Bonjour j'ai besoin d'aide pour ce sujet. Merci de m'aider:


Depuis 1950, on a constat´e qu’en moyenne, la population d’un pays a un taux
annuel de natalité de 20 pour mille habitants et un taux annuel de mortalité de 15 pour mille
habitants. De plus, chaque année, en moyenne 100 000 nouveaux arrivants viennent s’installer
dans le pays.

Partie A: Modélisation continue:

Soit P(t) la population de ce pays, en millions d’habitants, a l’instant t, exprime en années (t >ou egal 1950).
1. Soit dt un accroissement de temps tr`es petit. On supposera que, pendant l’intervalle de temps dt, le nombre de naissances et le nombre de décès sont proportionnels `a P(t) et `a dt
et que le nombre d’arrivants est proportionnels a dt.
a) Montrer qu'a l’instant t+dt, le nombre d’enfants venus au monde depuis l’instant t est :
2/100 × P(t) × dt.
b) On suppose que la fonction p:t->P(t) est dérivable sur [1950,+1[. On fait tendre dt vers 0. Démontrer alors que la fonction P est solution de l’équation différentielle : y' = (1/200)y+0,1. (E)

2. a)résoudre(E)sur [0;+infini[
b) sachant qu’en 1950, la population est de 30,5 millions
d’habitants. En déduire P(t).

3. Estimer la population de ce pays en 2050, en supposant que l’évolution se poursuit selon cette même loi.

Partie B: Modelisation discrete:

On note Pn la population de ce pays en millions d’habitants l’annee n + 1950, (avec n entier naturel).
1. Montrer que l’on a : Pn+1 = 1, 005Pn + 0, 1 pour tout entier naturel n.
2. On note (un)n0 la suite définie par : un = Pn + 20. Montrer que la suite (un)n0 est une suite geometrique. Preciser la raison de cette suite.
3. On rappelle que en 1950, la population de ce pays est de 30,5 millions d’habitants. On a
donc P0 = 30, 5.
a) Donner l’expression de un, puis celle de Pn en fonction de n.
b) Estimer la population de ce pays en 2050 en supposant que l’evolution se poursuive ainsi.

Où j'en suis dans mon devoir

Je ne sais pas comment commencer ce sujet j'ai besoin d'axe s'il vous plait pour chaque question. Je vous remercie par avance.