Dm probabilités

Sujet du devoir

Un laboratoire médical met en place et essaye un nouveau test de dépistage d'une maladie sur un échantillon de personnes. 25% des testés sont des malades et 95% d'entre eux ont un résultat positif.

1. Sachant que 26.3% des testés est positif, quelle est la proba d'avoir un résultat positif alors que l'on n'est pas malade ?

2. Quelle est la proba d'avoir un résultat négatif lorsque l'on est malade ?

On prend un échantillon de 4 000 personnes à tester.

3. Combien sont les malades ?

4. On suppose que le fait qu'une personne testée ait un résultat positif n'a aucune influence sur les résultats des autres personnes testées. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de résultats positifs parmi les personnes malades. Quelle loi suit X ?

5. Quel est l'intervalle au seuil de 95% de la fréquence des résultats positifs dans l'échantillon de personnes malades ?

6. En fin de compte, le laboratoire dénombre 925 résultats positifs parmi les malades. Peut-on accepter au seuil de 95% l'hypothèse que 95% des malades testés aient un résultat positif ?

Où j'en suis dans mon devoir

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé, du coup j'aimerais bien que quelqu'un me corrige.

Je note A-1 l’événement contraire de A et pour les probabilités conditionnelles, je marque (par exemple)  p A (B) pour exprimer "p de B sachant A" où le A est normalement un peux plus bas que le p

A: personne malade

B: test positif

p(A)=0.25

p(A∩B)= (95/100)*(25/100)=0.2375

1. p A-1 (B) = p(B∩A-1) / p(A-1)   =   0.0255/0.75     = 0.034

p(B∩A-1) = p(B) - p(B∩A)   = 0.263-0.2375  = 0.0255

Sachant que l'on n'est pas malade, il y a 3.4% de chance d'avoir un résultat positif.

2. p A (B-1) =  p(A∩B-1)  / p(A)  =  0.0125/0.25   = 0.05

p (A∩B-1) = p(A) - p(A∩B)   = 0.25-  0.2375   = 0.0125

Sachant que l'on est malade, il y a 5% de chance d'avoir un résultat négatif.

3. 25/100 * 4000 = 1000  

Sur les 4000 personnes à tester, 1000 sont malades.

4. n=4000

il y a deux issues:  S: test positif   et S-1: test négatif

X: nombre de résultats positifs

les épreuves sont indépendantes et identiques, donc X suit B (4000,0.263)

5. Je voulais chercher a >0.025 et b>0.975 mais une liste de 0 apparaît sur ma calculatrice (vous savez pourquoi ?), donc

I= [ p - (1/ √n)  ; p - (1/ √n) ]

 = [ 0.263 - (1/ √4000)  ; 0.263 + (1/ √4000) ]

 = [ 0.247  ; 0.279 ] au seuil de 95%

6. 925/4000 = 0.23125 n'appartient pas à I donc on ne peut pas accepter l'hypothèse que 95% des malades testés aient un résultat positif au seuil de 95%