DM suites et limites pour demain!!!! AU secours

Sujet du devoir

On définit, pour tout entier naturel n supérieur à 0, la suite (Un) de nombres réels strictement positifs par Un=n^2/2n

 

1. Pour tout entier naturel n supérieur à 0, on pose Vn= Un+1/Un

a/ Montrer que la lim de Vn quand n tend vers plus l'infini est 1/2

b/ Montrer que pout tout entier naturel n supérieur à 0, Vn est supérieur à 1/2

c/ Trouver le plus petit entier naturel N tel que si n est supérieur ou égal à N, Vn<3/4

d/ En déduire que si n supérieur ou égale à N alors Un+1 inférieur ou égale à 3/4Un

 

On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, Sn=U5+U6+...+Un

2. On se propose de démontrer que la suite (Sn)n supérieur ou égale à 5 est convergente.

a/Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, Un inférieur ou égale à (3/4)^n-5 U5

b/ Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, 

Sn inférieur ou égale à [ 1+3/4+(3/4)^2+...+(3/4)^n-5]U5

 

c/ En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 5, Sn inférieur ou égale à 4U5

 

3. Montrer que la suite (Sn)n supérieur ou égale à 5 et croissante et en déduire qu'elle converge.

 

Merci d'avance

Où j'en suis dans mon devoir

1/ a/ j'ai réussi

b/ je n'y arrive pas

c/ j'ai trouver 1/2 <3/4  (je ne suis sur du tout que ce soit bon)

d/ je n'ai pas trouvé

2. a/ j'ai utlisé la méthode apprise et je pense avoir réussi

b&c/ je ne vois pas quel méthode je dois employer et donc comment la résoudre

 

3/ je ne sais pas justifier la convergence d'une suite