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Sujet du devoir
Soit f définie sur ]0;+oo[ par f(x) = (1/x)(1+x)(Rac(1+x)-1)1a - Déterminer lim f qd x tend vers +oo
1b - Montrer que pour tout x , f(x) = (1+x)/1 + Rac(1+x)
1c - En déduire lim f(x) qd x tend vers 0
2a - Montrer que f est dérivable sur ]0;+oo[ et que pour tout x de cet intervalle
f'(x) = [1+1/2de Rac(1+x)]/(1+Rac(1+x))²
2b - Dresser alors le tableau de variation de f sur ]0;+oo[
2c - Montrer que f([1/2;1])est inclus dans [1/2;1]
Où j'en suis dans mon devoir
1a - pour calculer la limite j'ai mis x en facteur car sinon je tombe sur une forme indéterminéef(x) = (1+1/x)(Rac(1+x)-1)
1+1/x tend vers 1 si x tend vers +oo
Rac(1+x) -1 tend vers +oo si x tend vers +oo
Donc lim f = +oo si x tend vers +oo
1b - En multipliant par la quantité conjuguée j'ai bien trouvé f(x)=(1+x)/(1+Rac(1+x))
1c - j'en ai déduit que lim f() = 1/2 qd x tend vers 0
2a - Je ne sais pas comment montrer que f est dérivable sur ]0;+oo[mais j'ai bien trouvé f' comme c'est indiqué dans l'enoncé ( f = u/v et f' = u'v-uv'/v²)
2b - là j'ai dressé un TV où f' est tjrs positive (c'est le signe du numérateur) et donc f croissante de 1/2 pour x=0 à +oo pour x= +oo
2c - Là je suis bloquée
Donc si qq peut m'aider après avoir vérifié mes réponses, merci bp.
2a et 2c non compris
19 commentaires pour ce devoir
Merci Carita pour ton aide
C'est vrai que pour la 2b, le 0 ne fait pas partie du domaine de définition . Mais dans ce cas on ne met rien dans le tableau de variation ? Juste +oo pour x à l'oo ?
Je vais calculer le reste et je te dis si j'ai un pb ...
C'est vrai que pour la 2b, le 0 ne fait pas partie du domaine de définition . Mais dans ce cas on ne met rien dans le tableau de variation ? Juste +oo pour x à l'oo ?
Je vais calculer le reste et je te dis si j'ai un pb ...
on met une double barre sous le 0 pour montrer que la fonction n'est pas définie en 0 et on note la limite lorsque x tend vers 0 (qui est 1/2).
de la mm façon on dit que la limite lorsque x tend vers +oo est +oo.
mais l’écriture x=+oo est erronée, car +oo n’est pas un nombre, tu vois?
de la mm façon on dit que la limite lorsque x tend vers +oo est +oo.
mais l’écriture x=+oo est erronée, car +oo n’est pas un nombre, tu vois?
Oui c'est vrai j'avais oublié la double barre!
mais dans le tableau qui indique par une flèche que f est croissante, je peux mettre +oo à l'extrèmité de cette flèche ?
Pour la dernière question je trouve à peu près 0.6 et 0.8 pour les images de 1/2 et 1, donc je reste bien dans l'intervalle
je peux mettre +oo à l’extrémité de cette flèche? --- tu dois :)
ok pour la suite.
bonne journée !
ok pour la suite.
bonne journée !
Merci Carita pour ton aide
L'exercice n'est pas fini il est en 3 parties. Est ce que je dois refaire un poste ou je peux continuer avec toi ?
L'exercice n'est pas fini il est en 3 parties. Est ce que je dois refaire un poste ou je peux continuer avec toi ?
coucou (désolée du retard)
oui montre moi tes énoncés, si je sais faire, inutile de poster un autre devoir.
oui montre moi tes énoncés, si je sais faire, inutile de poster un autre devoir.
Soit Un define par U0= 1 et U n+1= f(Un)
Montrer par recurrence que pour tt n de N , Un € [1/2;1]
Montrer par recurrence que pour tt n de N Un+1 < Un
En deduire que (Un) converge vers un reel a solution de l'equation f(x) = x
Pour le 1 j'ai mis
Initialisation
Au rang n= 0, U0 = 1 donc P(0) vraie
Heredite
Supposons P(n) vraie c'est a dire 1/2<=Un<=1
Montrons P(n+1) vraie c'est a dire Un+1 € [1/2;1]
Un+1 = f(Un)
D'apres P(n) f(1/2)<=f(Un)<= f(1)
Donc ( 1+1/2)/1+Rac(1+1/2)<= Un+1<=( 1+1)/1+ Rac(1+1)
0,67<= Un+1<=0,83
Ce qui prouve l,heredite et la recurrence.
Pour l'autre raisonnement je bloque a l'heredite.
Excuse moi pour la frappe , mon ordi a des pb de connexion depuis ce matin et j'ai emprunte une tablette
Mais c' est vraiment galere de travailler avec !
Montrer par recurrence que pour tt n de N , Un € [1/2;1]
Montrer par recurrence que pour tt n de N Un+1 < Un
En deduire que (Un) converge vers un reel a solution de l'equation f(x) = x
Pour le 1 j'ai mis
Initialisation
Au rang n= 0, U0 = 1 donc P(0) vraie
Heredite
Supposons P(n) vraie c'est a dire 1/2<=Un<=1
Montrons P(n+1) vraie c'est a dire Un+1 € [1/2;1]
Un+1 = f(Un)
D'apres P(n) f(1/2)<=f(Un)<= f(1)
Donc ( 1+1/2)/1+Rac(1+1/2)<= Un+1<=( 1+1)/1+ Rac(1+1)
0,67<= Un+1<=0,83
Ce qui prouve l,heredite et la recurrence.
Pour l'autre raisonnement je bloque a l'heredite.
Excuse moi pour la frappe , mon ordi a des pb de connexion depuis ce matin et j'ai emprunte une tablette
Mais c' est vraiment galere de travailler avec !
alors..
pour la première hérédité, selon moi c'est bon, il suffit de rajouter que la fonction est croissante (pour justifier que tu peux écrire f(1/2)<=f(Un)<= f(1)
pour la seconde je ne suis pas très sure de ma réponse
je suis partie sur le calcul de
f(X) - X ---- en posant X = U(n+1) pour simplifier les calculs
et j'arrive à montrer que cette différence est <0
donc que f(U(n+1)) - U(n+1) < 0
donc f(U(n+1)) < U(n+1) qq soit n
puis j'ai vu la qst suivante où le "en déduire" me laisse penser que j'ai bon ^^
et j'arrive à une équation (x²-x-1=0), dont le fameux nb phi (=~ 1.618) est solution.
mais vraiment je préfèrerais que tu aies l'avis d'un prof :/
si tu souhaites poster une autre devoir, pas de souci pour moi.
pour la première hérédité, selon moi c'est bon, il suffit de rajouter que la fonction est croissante (pour justifier que tu peux écrire f(1/2)<=f(Un)<= f(1)
pour la seconde je ne suis pas très sure de ma réponse
je suis partie sur le calcul de
f(X) - X ---- en posant X = U(n+1) pour simplifier les calculs
et j'arrive à montrer que cette différence est <0
donc que f(U(n+1)) - U(n+1) < 0
donc f(U(n+1)) < U(n+1) qq soit n
puis j'ai vu la qst suivante où le "en déduire" me laisse penser que j'ai bon ^^
et j'arrive à une équation (x²-x-1=0), dont le fameux nb phi (=~ 1.618) est solution.
mais vraiment je préfèrerais que tu aies l'avis d'un prof :/
si tu souhaites poster une autre devoir, pas de souci pour moi.
D'accord mais je ne connais pas le nb phi et je ne l'ai pas vu dans le cours.
Mais je peux t'ecrire la derniere partie de l'exercice . Peut etre que cela va aller dans le sens de tonraisonnement. Par contre je n' y ai pas encore touche
Mais c'est lie a tout le reste .
Soit g definie sur [0;+oo[ par g(x) = x^3 + x^2-1
Montrer que g est strictement croissante sur [0;+oo{[
montrer que pout tt x de ]0;+oo[, f(x) = x equivaut a g(x) =0. en deduire que a est l'unique solution dans ]0;+oo[ de l'equation g(x) =0
Donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de a
Voila le debut me semble logique en passant par la derivee mais apres je ne suis pas allee plus loin.
Si cela te donne des infos ....
En tout cas merci bp tes explications sont tres claires.
Mais je peux t'ecrire la derniere partie de l'exercice . Peut etre que cela va aller dans le sens de tonraisonnement. Par contre je n' y ai pas encore touche
Mais c'est lie a tout le reste .
Soit g definie sur [0;+oo[ par g(x) = x^3 + x^2-1
Montrer que g est strictement croissante sur [0;+oo{[
montrer que pout tt x de ]0;+oo[, f(x) = x equivaut a g(x) =0. en deduire que a est l'unique solution dans ]0;+oo[ de l'equation g(x) =0
Donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de a
Voila le debut me semble logique en passant par la derivee mais apres je ne suis pas allee plus loin.
Si cela te donne des infos ....
En tout cas merci bp tes explications sont tres claires.
ah oui, ça me montre surtout que j'ai fait une erreur de calcul !!
f(x) = x <=>
f(x) - x = 0 <=>
(1+x)/(1 + V(1+x)) - x = 0
(1+x-x - x V(1+x)) /(1 + V(1+x)) = 0 --- mise en déno commun
(1 - x V(1+x)) = 0 --- seul le numérateur peut être nul
... manipule tout ça tu dois arriver à :
x^3 + x^2-1 = 0 --- et non pas x²-x-1 comme je l'avais dit :/
je dois couper
je repasse demain, mais si tu as des doutes, poste sur un autre devoir, pas de pb.
bonne soirée !
f(x) = x <=>
f(x) - x = 0 <=>
(1+x)/(1 + V(1+x)) - x = 0
(1+x-x - x V(1+x)) /(1 + V(1+x)) = 0 --- mise en déno commun
(1 - x V(1+x)) = 0 --- seul le numérateur peut être nul
... manipule tout ça tu dois arriver à :
x^3 + x^2-1 = 0 --- et non pas x²-x-1 comme je l'avais dit :/
je dois couper
je repasse demain, mais si tu as des doutes, poste sur un autre devoir, pas de pb.
bonne soirée !
juste un détail
"en deduire que a est l'unique solution dans ]0;+oo[ de l'equation g(x) =0
Donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de a"
utilise le fait que la fonction g est croissante (dérivée positive)
fais le tableau de variation en calculant la limite des bornes 0 et +oo
puis utilise le théorème des valeurs intermédiaires que tu dois avoir dans le cours.
--> tu en déduis que g(x) = 0 ne peut avoir qu'une solution
tu la trouves en tâtonnant à la calculette.
bon je file :)
a+
"en deduire que a est l'unique solution dans ]0;+oo[ de l'equation g(x) =0
Donner un encadrement d'amplitude 10^-3 de a"
utilise le fait que la fonction g est croissante (dérivée positive)
fais le tableau de variation en calculant la limite des bornes 0 et +oo
puis utilise le théorème des valeurs intermédiaires que tu dois avoir dans le cours.
--> tu en déduis que g(x) = 0 ne peut avoir qu'une solution
tu la trouves en tâtonnant à la calculette.
bon je file :)
a+
Ok merci
Bonjour Carita
Je reprends ce post car j'ai essayé, en relisant tes 2 derniers messages, d'avancer mais je reste bloquée sur la 2eme demo de recurrence. (Un+1 < Un)
Pourtant je comprends la relation avec la fonction f et la suite
Si tu as un moment pour me réexpliquer...merci
Je reprends ce post car j'ai essayé, en relisant tes 2 derniers messages, d'avancer mais je reste bloquée sur la 2eme demo de recurrence. (Un+1 < Un)
Pourtant je comprends la relation avec la fonction f et la suite
Si tu as un moment pour me réexpliquer...merci
je crois que j'ai trouvé + simple !
U0= 1 et U(n+1)= f(Un)
Montrer par récurrence que pour tt n de N Un+1 < Un
Initialisation
Au rang n= 0, U0 = 1
en n+1, U1 = f(U0) = f(1) =~0.83 < 1 donc P(0) vraie
Heredite
Supposons P(k) vraie c'est a dire U(k+1) < Uk
Montrons P(k+1) vraie c'est a dire U(k+2) < U(k+1)
on sait que la fonction f est croissante (cf 2b)
donc elle "respecte l'ordre" : si a ainsi
puisque U(k+1) < Uk alors
f(U(k+1)) < f(Uk) <=> U(k+2) < U(k+1)
U0= 1 et U(n+1)= f(Un)
Montrer par récurrence que pour tt n de N Un+1 < Un
Initialisation
Au rang n= 0, U0 = 1
en n+1, U1 = f(U0) = f(1) =~0.83 < 1 donc P(0) vraie
Heredite
Supposons P(k) vraie c'est a dire U(k+1) < Uk
Montrons P(k+1) vraie c'est a dire U(k+2) < U(k+1)
on sait que la fonction f est croissante (cf 2b)
donc elle "respecte l'ordre" : si a ainsi
puisque U(k+1) < Uk alors
f(U(k+1)) < f(Uk) <=> U(k+2) < U(k+1)
Oui c'est beaucoup plus simple
Donc par ce raisonement on démontre que la suite est décroissante.
Ce qui fait que je peux dire pour le 3) que (Un) étant décroissante et bornée, elle est convergente.
Mais pourquoi elle convergerait vers un réel "a" solution de f(x) = x ?
Donc par ce raisonement on démontre que la suite est décroissante.
Ce qui fait que je peux dire pour le 3) que (Un) étant décroissante et bornée, elle est convergente.
Mais pourquoi elle convergerait vers un réel "a" solution de f(x) = x ?
"en déduire que" : donc on est invité à utiliser ce qui précède
cours : théorème de convergence:
si une suite est décroissante et minorée alors elle converge.
- on a vu qu'elle est décroissante --- qq soit n, Un+1 < Un
- et minorée par 1/2 --- qq soit n, Un € [1/2;1]
donc elle est convergente
attention : sa limite en n'est pas forcément 1/2 !
je t'invite à étudier attentivement ce lien (et prendre des notes)
http://www.educastream.com/convergence-suites-terminale-s
puis particulièrement le théorème du 6°) :
Si Un converge vers a et si f est continue en a, alors a vérifie: f(a)=a
f(x) = x <=>
f(x) - x = 0 <=>
manipule cette expression tu dois arriver à x^3 + x^2 - 1 = 0
note que l'on ne te demande pas à ce stade de trouver a
c'est l'objet de la question suivante.
cours : théorème de convergence:
si une suite est décroissante et minorée alors elle converge.
- on a vu qu'elle est décroissante --- qq soit n, Un+1 < Un
- et minorée par 1/2 --- qq soit n, Un € [1/2;1]
donc elle est convergente
attention : sa limite en n'est pas forcément 1/2 !
je t'invite à étudier attentivement ce lien (et prendre des notes)
http://www.educastream.com/convergence-suites-terminale-s
puis particulièrement le théorème du 6°) :
Si Un converge vers a et si f est continue en a, alors a vérifie: f(a)=a
f(x) = x <=>
f(x) - x = 0 <=>
manipule cette expression tu dois arriver à x^3 + x^2 - 1 = 0
note que l'on ne te demande pas à ce stade de trouver a
c'est l'objet de la question suivante.
je dois couper
je repasse en fin de journée voir si tu as des questions sur ce devoir, et sur l'autre.
a+
je repasse en fin de journée voir si tu as des questions sur ce devoir, et sur l'autre.
a+
Je suis toujours bloquée au 3) en déduire ...et même complètement dans le brouillard.
Je suis allée sur le site educastream mais ça ne m'a pas aidé.
J'ai du mal à relier continuité et limites des fonctions et en plus, avec des suites ....
Je suis allée sur le site educastream mais ça ne m'a pas aidé.
J'ai du mal à relier continuité et limites des fonctions et en plus, avec des suites ....
Ils ont besoin d'aide !
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1 tout juste
2a) f est dérivable sur ]0;+oo[ comme composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
2b) oups, comment tu fais pour trouver f(0) = 1/2
la fonction n'est pas définie pour x = 0
2c) calcule les images de 1/2 et 1 et montre qu'elles € à l'intervalle [1/2;1]
la fonction étant croissante, les images de tous les nb qui € [1/2;1] appartiendront aussi à cet intervalle.