Etude de la limite d'une suite (Un)

Sujet du devoir

Voici l'énoncé de mon exercice :

La suite (Un) est définie pour tout entier naturel n>=3, par
Un = (n²+1)/(Racine carré de (n-2))

1. Justifiez que pour tout entier n>=3, Un>= n*(racine carré de (n))
2. Déduisez-en la limite de la suite (Un)

Note : Rac(..)=Racine carré de (..), cette notation me permet d'être plus court dans ma rédaction.

Où j'en suis dans mon devoir

1. Je n'ai su justifier cette inégalité qu'en faisant la différence
de Un et n*(rac(n)). On a alors :
Un-n*rac(n)>0, si c'est inégalité est vraie alors l'inégalité proposé dans l'énoncé l'est aussi. On a donc :
Un - n*rac(n) = [(n²+1)/rac(n-2)] - n*rac(n)
J'ai donc réduit cette différent au même dénominateur, puis ensuite utilisé la quantité conjugué pour faire sauter les radicaux, pour enfin étudier le signe de cette différence dont la dépendance est une expression polynomiale de degré 3 telle que : -2n^3 + 2n + 1

C'est à ce moment là que j'ai compris qu'il était possible que mon raisonnement soit faux.

2. Quant à ce point-ci, il requiert d'avoir fait le 1. Mais sans même donner le résultat on est capable de donner la limite de Un.
Donc limite Un quand Un tend vers l'infini égale à la limite de n*rac(n) quand n tend vers l'infini. On a donc par produit de limite lim (n,n,infini)=l'infini et lim(rac(n),n,+oo)=+oo, (donc l'infini fois l'infini égal à l'infini) donc lim(Un,n,+oo)=+oo.