exercice dm en limites de fonction

Partie A - Étude d’une fonction

Soit f définie sur ]0 ; + ∞[ par : f ( x ) = 1.

a. Déterminer lim f (x). x→+∞

1+ x ( x

1+ x − 1 . )

1+x 1+ 1+x

a. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que pour tout x de ]0 ; +∞[,

1+21 1+x

b. Montrer que pour tout x de ]0 ; +∞[, f (x)= c. En déduire lim f (x ).

.

x→0 2.

f '(x)=
b. Dresser alors le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞[.

⎛⎡1 ⎤⎞ ⎡1 ⎤ c. Montrer que: f ⎜⎝ ⎢⎣2 ; 1⎥⎦⎟⎠ ⊂ ⎢⎣2 ; 1⎥⎦.

Partie B - Étude d’une suite

2.

1+ 1+x ()

Soit (un)définiepar:u0=1etun+1=f(un).
1. Montrer, par récurrence, que pour tout n de N, un ∈⎢⎣2 ; 1⎥⎦.
2. Montrer, par récurrence, que pour tout n de N, un+1<un.
3. En déduire que (un ) converge vers un réel a solution de l’équation f (x) = x.

Partie C - Propriété de a

Soit g définie sur [0 ; + ∞[ par g ( x ) = x 3 + x 2 − 1.

1. Montrer que g est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

2. Montrer que pour tout x de ]0 ; +∞[, f (x ) = x ⇔ g(x ) = 0. En déduire que a est l’unique solution dans [0 ; +∞[ de l’équation g (x) = 0.

3. Donner un encadrement d’amplitude 10−3 de a.

Exercice 3 (3 points)

⎡ππ⎤
Soit f définie sur ⎢ − ; ⎥ par : f ( x ) = x cos x − 2 sin x .

⎣22⎦ 1. Étudier la parité de f.

⎡ππ⎤
2. Montrer que f est dérivable sur ⎢− ; ⎥ et calculer f '(x ).

⎡ππ⎤
3. Montrer que f ' est dérivable sur ⎢− ; ⎥ et calculer f ''(x ).

⎣22⎦ 8 CNED Terminale – maThémaTiques – 2019

⎣22⎦

⎡1⎤

⎡ππ⎤
4. Dresser le tableau de variation de f ' sur ⎢− ; ⎥ . En déduire le signe de f '.

5. Dresser alors le tableau de variation de f sur ⎢− ; ⎥.