Exercice Logarithme Néperien

Publié le 16 janv. 2010 il y a 9A par bobor - Fin › 20 janv. 2010 dans 9A
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Sujet du devoir

Partie A:
Soit D la fonction définie sur [2;20] par :
D(x) = x - 2 - 2 ln (x)
a. Étudier les variations de la fonction D et dresser son tableau de variation.
b. Montrer que la fonction D s'annule exactement une fois sur [2;20]. Indiquer la valeur arrondie à une décimale de ce nombre.
c.En déduire le signe de la fonction D sur [2;20] et récapituler les résultats dans un tableau.


Partie B:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Les unités graphiques étant 1 cm dans l'axe des abscisses et 5cm sur l'axe des ordonnées.
Soit f la fonction définie sur ]2;20] par :
f (x) = x ln (x) / x-2

C désigne la courbe représentative de la fonction f.

a. Montrer que la dérivée f' de f a le même signe que D, sur ]2;20]. Étudier les variations de f, déterminer la limite de f en 2, puis dresser le tableau de variations.
b. Prouver qu'il existe un unique point de la courbe C, où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
c. Tracer la courbe C.

Partie C:
Soit g :[2; 20]→|R
x:→ 1/2x² -2x ln (x)
1. Montrer que g est une primitive de D sur [2; 20].
2. Soit I le nombre défini par : I= ∫20 16 D(x)dx
a. Exprimer le nombre I uniquement à l'aide de nombres entiers et des deux nombres ln 2 et ln 5
b. Donner la valeur de I arrondie à deux décimales

Où j'en suis dans mon devoir

J'en suis à la partie, et j'ai un problème pour le calcul de mes limites!
La question b, je sais comment faire mais je n'arrive pas à résoudre f(x)=0, pour pouvoir continuer!



3 commentaires pour ce devoir


Ashe
Ashe
Posté le 17 janv. 2010
J'ai cru comprendre que tu étais bloqué sur la partie A, donc voici quelques indications.

A)a)Bon étudier le signe de la dérivée ne doit pas poser trop de problèmes, et comme l'étude s'effectue sur l'intervalle [2,20], on n'a ici aucun problème de limites (il s'agit de calculer f(2) et f(20)).
b)Une bonne utilisation du tableau de variations dressé précédemment (après calcul des valeurs de la fonction aux deux extrémités) ainsi qu'une évocation du théorème des valeurs intermédiaires devrait suffire à prouver l'existence et l'unicité du point qui annule la fonction. Appelons ce point k. Il n'est pas possible de trouver la valeur exacte de k. Il faut donc essayer de trouver sa valeur par la méthode de dichotomie par exemple (à l'aide d'une calculatrice).
c) Reprendre simplement les résultats des 2 dernières questions

bobor
bobor
Posté le 17 janv. 2010
Nan en faites je bloque à la partie B b), je n'arrive pas à résoudre f(x)=0, pour pouvoir continuer l'exercice et répondre à cette que je sais faire!
Ashe
Ashe
Posté le 18 janv. 2010
La question b) de la partie B te demande de trouver un point tel que la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses, autrement dit, il faut que le coefficient directeur de la tangente soit nul, ou encore que la dérivée de ta fonction est une valeur nulle en ce point.
Il faut donc dériver ta fonction et résoudre f'(x)=0, et montrer qu'il existe une unique solution. (tu ne pourras probablement pas trouver la réponse exacte mais montrer avec un autre tableau de variations de f' que la solution existe et est unique)

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