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Sujet du devoir
Bonjour! J'ai un exercice sur des nombres complexes et je n'y arrive vraiment pas... Toute aide serait bien venue!
C'est un QCM, déterminer les reponses correctes dans chaque cas.
z est le nombre complexe de module 2 et d'argument 2 pi/3.
On pose t= [ 1/(racine de 2) ] x (1 - i)
1. a) t(barre) = 1/t
b) |t|= 1/racine de 2
c) t^4n est réel, si n est entier
2. a) z^3 est réel
b) un argument de (z^2)/(t^3) est (pi)/12
c) il existe deux entiers non nuls m et n tels que z^n = t^m
3. a) Re(z^10) = -2^9
b) (t^4)/(z^3)=1/8
c) 1+t+t^2+ ... +t^7 = 0
Merci pour toute aide apportée
1 commentaire pour ce devoir
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Bonjour
z s'écrit : z=2(cos 2pi/3 + isin 2pi/3) = 2(-1/2 + iV3/2) (V3 = racine de 3)
t s'écrit : 1/V2 (1-i)
A partir de cela il faut vérifier si les propriétés a, b et c sont vraies ou fausses
Pour le 1 :
a) t barre = = 1/V2(1+i)
Multiplier t barre par t et vérifier si c'est égal à 1
Si c'est vrai, t x t barre = 1 donc t barre = 1/t
b) Le module d'un nombre complexe a+ib est (a^2 + b^2)^1/2 ou racine de (a^2+b^2)
Avec t faire le calcul pour voir si c'est égal ou non à 1/V2
c) t^4n = (t^4)^n = ((t^2)^2)^n
Calculer t^2, puis( t^2)^2, puis ((t^2)^2)^n et voir ce que ça donne
Pour le 2 :
a) z^3 = 8(cos 2pi/3 + isin 2pi/3)^3
Formule de Moivre : (cos x + isin x)^n = cos nx + i sin nx
Appliquer cette formule pour x = 2pi/3 et voir si c'est un réel ou non
b) z^2 = 4(-1/2 + iV3/2) = 4(1/4 - 3/4 -2x1/2xiV3/2) = 4(-1/2 - iV3/2)
Calculer t^3 (on peut également utiliser la formule de Moivre)
Faire ensuite la division z^2/t^3 et voir le résultat, donner son argument
c) Je pense qu'on doit pouvoir utiliser également la formule de Moivre pour trouver m et n, à creuser
Je n'ai pas le temps de faire le 3 pour le moment, je reviendrai plus tard
Me tenir au courant pour le 1 et le 2 !
Cordialement