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Sujet du devoir
Bonjour, j'ai un gros souci avec mon exercice que je dois rendre pour jeudi, je ne comprends rien. Actuellement, on travaille sur l'arithmétique.
Voici l'énoncer:
Il s'agit de déterminer tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que:
a^b=b^a avec 2 ≤ a < b
1/ Étudier le cas où a=2.
2/ Soit p un nombre premier quelconque:
Montrez que p | a <=> p | b ( "|" signifie divise)
Les entiers a et b possèdent les mêmes diviseurs premiers.
3/soient x et y les exposants d'un nombre premier p quelconque dans les factorisations de a et b. On écrit p^x || a pour dire que p^x | a et p^(x+1) ∤ a ( "∤" signifie ne divise pas).
Déterminer une relation entre x, y, a, b. En déduire que a ∣ b
4/ Comment continuez vous?
Où j'en suis dans mon devoir
Pour l'instant, pour la question 1 j'ai seulement trouvé deux solutions évidentes : b= 2 et b= 4. Mias je ne sais pas comment trouvé les autres solutions.
2/ j'ai essayé des trucs mais je n'ai pas l'impression que ça va aboutir:
Pour p ∣ a: a=p.k
Or a^b=b^a donc a^b=(p.k)^b = p^b.k^b
Pour p ∣ b: p= p.k' et ensuite c'est le même raisonnement que pour p ∣ a.
3/ p^x ∣ a p^y ∣ b
a= p^x.k b= p^y.k'
a^b= p^xb.k^b b^a= p^ya.k'^a
Or a^b=b^a donc p^xb.k^b=p^ya.d^a.
Voilà où j'en suis, merci de m'aider
2 commentaires pour ce devoir
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pour l'instant, le 1:
tu as 2^b=b^2, ce qui veut dire que b doit être pair : on peut étudier 2 cas
si b pair on peut écrire b=2k; donc 2^b=2^(2k)=b²; c'est à dire b=2^k
Donc b est une puissance de 2. (tu as trouvé les deux premières, mais après il y a 8, 16...)
On peut facilement étudier le cas où b est impair....
D'accord merci et du coup pour le cas ou b est impaire, b=2k+1 c'est bien ça?