Exercice suites numériques ( Correction )

Sujet du devoir

Bonjour,
J'ai cet exercice sur les suites numériques niveau terminale L.
Je l'ai terminé et j'aimerais savoir si quelqu'un serait en mesure de me dire si ce que j'ai fait est juste, j'en serais très reconnaissante.

L'énoncé de l'exercice est en lien car impossible de le télécharger : 

http://image.noelshack.com/fichiers/2018/44/6/1541253484-44621745-2169162293354068-5742172391996391424-n.jpg

http://image.noelshack.com/fichiers/2018/44/6/1541253485-45207834-290386775133878-3654225735272366080-n.jpg

Merci d'avance.

Où j'en suis dans mon devoir

Voilà mes réponses :

PARTIE 1

a) La formule est =(B2*0.8+7)
b) J'ai donc simplement recopié le tableau sur ma copie.
c) D'après le tableur, l'action de l'organisation ne permettra pas de retrouver un jour la couverture forestière adéquate, le nombre d'hectares étant décroissant.
d) Selon ce modèle, la valeur limite semble être la valeur "35" dans le tableur, soit 35 000.

PARTIE 2

a) un+1 = 0,8un + 7 car 1-20/100 = 0,8.
La suite est une suite géométrique de raison 0,8.

b) D'après l'énoncé, vn=un-35 donc :
vn+1= un+1 - 35
vn+1= 0,8un+7 - 35
vn+1= 0,8un - 28
vn+1 = 0,8(un-28/0,8)
vn+1= 0,8(un-35)
vn+1 = 0,8vn

C'est à ce résultat que j'ai le plus de doutes car je me suis basée sur le modèle d'un autre exercice.

La suite (v) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme 65.

c) vn= vo * q^n
vn= 65 x 0,8^n

L'expression de vn est vn=65*0,8^n.

vn= un - 35 donc un= vn + 35.
Comme vn= 65 * 0,8^n, on a un= 65 * 0,8^n + 35.

L'expression de un est un=65*0,8^n+35.

d) A l'aide du tableur, on a déterminé que l'action de l'organisation était vaine car le nombre d'hectares de forêt était décroissant.
On peut le vérifier grâce à la suite (un).
Sachant que un= 65 * 0,8^n + 35 et que uo= 100, on a :

u1 = 65 * 0,8^1 + 35 = 87.
u2 = 65 * 0,8^2 + 35 = 76, 6.
u3 = 65 * 0,8^3 + 35 = 68,28.
u4 = 65 * 0,8^4 + 35 = 61, 624.

Cela confirme que l'organisation a échoué et que le nb d'hectares est décroissant.
On peut également confirmer que la suite est strictement décroissante car 0<0,8<1.

Ensuite, toujours grâce au tableur, on a trouvé que la valeur limite était 35 000, on peut le vérifier grâce à la suite :

0<0,8<1 donc lim0,8^n = 0
Donc lim65*0,8^n = 65 * 0 = 0
Donc limun = 0 + 35 = 35.

La valeur limite est bien 35 000, 35 dans le tableur.

J'espère que c'est clair et je remercie énormément par avance ceux qui voudront bien vérifier mes réponses.
Bonne après-midi.