Exercices logarithme

Publié le 14 févr. 2010 il y a 9A par alicia05 - Fin › 21 févr. 2010 dans 9A
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Sujet du devoir

Voilà, je m'entraine pour des exercices pour le bac, avec la fonction logarithme. Voici deux exercices, avec lesquels j'aurais besoin d'aide.

Exercice 1:

Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique 3cm)

1) On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1
et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0.

2) a) Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +l'infini[ par :
g(x) = ln(1+x) - (x - x²/2 + x^3/3)
Calculer g(0) et en déduire que sur R+ :
ln(1+x)
b)Par une étude analogue, montrer que si x>ou= 0 alors :
ln(1+x) >ou= x - x²/2

c)Etablir que pour tout x strictement positif on a :
-1/2 En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2

3) a) Soit h la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par h(x)= (x / 1+x) - ln(1+x)
Etudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0 ; +l'infini[
b)Montrer que sur ]0 ; +l'infini[ , f ' (x) = h(x) / x²
c)Dresser le tableau de variation de f en précisant la limite de f en +l'infini
d)On désigne par C la représentation de f dans le repère (O ; i ; j)
Construire la tangente T à C au point d'abscisse 0.
Montrer que C admet une asymptote. Tracer la courbe C.

Exercice 2:

Un tonneau contient 228 litres de vin, on prélève chaque jour 1L de ce tonneau, que l'on remplace par de l'eau. A partir de combien de jours, boit-on plus d'eau que de vin?


Où j'en suis dans mon devoir

Alors l'exercice 1, je suis en train d'essayer de le faire, j'ai quelques pistes. Mais pour la limite de la question 1). Je dirais que la limite de f(0) est de 1. Puisque f(0)=1, mais faut-il que je la calcule? Je posterais ici bientôt les quelques questions. Par contre, pour l'exercice 2, j'ai beau essayé de le résoudre, je ne vois pas. En effet, dès que l'on rajoute de l'eau, on obtient un mélange vin-eau, mais comment alors déterminer le jour, à l'aide du logarithme.
Merci d'avance pour votre aide et vos explications.



3 commentaires pour ce devoir


Cypher
Cypher
Posté le 14 févr. 2010
1)

" On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1
et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0. "

f(0) pour moi ya un bug ^^ , on ne divise pas par 0
[ f(0) = (ln(1+0))/0 ] alors soit l'énoncé est faux soit tu as mal recopié peut être f'(0) ?



alicia05
alicia05
Posté le 16 févr. 2010
Non, malheureusement j'ai bien recopié.
alicia05
alicia05
Posté le 20 févr. 2010
Merci beaucoup pour votre aide.

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