Exercices sur la fonction exponentielle

Sujet du devoir

Exercice 1
Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes :
a)e^(x²-10) X e^(-3x) = 1
b)e^(-0,1x) < e^(x²)
c)e^(2x) + e^x – 2 = 0 (poser X = e^x)
d)e^(2x) – (1+e) e^x + e > 0 (poser X = e^x)

Exercice 2
f est la fonction définie sur ]-1 ; +∞[ par f(x) = (e^x)/(1+x).
Dans un repère, C est la courbe représentative de f et Ta est la tangente à C au point A d’abscisse a > -1.
a)Donner une équation de Ta.
b)Démontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles Ta passe par l’origine du repère.

Exercice 3
Voici le tableau de signes de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(x) positif sur l’intervalle [0 ; a] et négatif sur l’intervalle [a ; +∞[.
Ainsi a est le nombre réel avec a > 0, tel que g(a) = 0.
Partie 1 :
Soit A la fonction définie e dérivable sur [0 ; +∞[ par : A(x) = 4x/(e^x +1)
1.Démontrer que pour tout nombre réel x positif ou nul, A’(x) a le même signe que g(x), où g est la fonction définie ci-dessus.
2.En déduire les variations de la fonction A sur [0 ; +∞[.
Partie 2 :
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f(x) = 4/(e^x +1).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i, j).
Pour tout nombre réel x positif ou nul, on note M le point de (C) de coordonnées (0 ; f(x)).
1.Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse a. Donner une valeur approchée de a à 10^(-1) près.
2.Le point M a pour abscisse a.
La tangente (T) en M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite (PQ) ?

Où j'en suis dans mon devoir

Exercice 1
a) e^(x²-10)*e^(-3x) = 1
e^(x²-10)*e^(-3x) = e^0
e^(x²-10-3x) = e^0
Cela revient a résoudre : x² - 10x – 3x = 0
x² - 10x – 3x est un polynôme du second degré. On calcule son discriminant :
Δ = (-3)² - 4*(-10) = 49
Δ > 0 donc le polynôme admet 2 racines :
x1 = (3 + √49) / 2 = 5
x2 = (3 - √49) / 2 = -2
S = {-2 ; 5}

b) e^(-0,1x) < e^(x²)
-0,1x < x²
-0,1 < x
S = ]–0,1 ; +∞[

c) e^(2x) + e^x – 2 = 0
On pose X = e^x
On a donc X² + X – 2 = 0
X² + X – 2 est un polynôme du second degré. On calcule son discriminant :
Δ = 1² - 4*(-2) = 9
Δ > 0 donc le polynôme admet 2 racines :
x1 = (1 + √9) / 2 = 2
x2 = (1 - √9) / 2 = -1
S = {-1 ; 2}

d) e^(2x) – (1+e) e^x + e > 0
On pose X = e^x
Je sais pas comment faire.

Exercice 2
a) Equation de Ta : y = f’(a) (x – a) + f(a)
f’(x) = (e^x (1+x) – e^x) / (1+x)²
f’(x) = (e^x + xe^x – e^x) / (1+x)²
f’(x) = xe^x/ (1+x)²
y = (ae^a / (1+a)²) (x – a) + (e^a / (1+a))
Je sais qu’on doit arriver à y = (e^a (-a² + 1 + a)) / (1+a)² mais je n’arrive pas à trouver ça. Je ne sais pas quoi faire du x.

b) On résout l’équation (e^a (-a² + 1 + a)) / (1+a)² = 0
e^a > 0 et (1 + a)² > 0 donc on résout : -a² + a + 1 = 0
-a² + a + 1 est un polynôme du second degré. On calcule son discriminant :
Δ = 1² - 4*(-1) = 5
Δ > 0 donc le polynôme admet 2 racines :
x1 = (-1 + √5) / -2
x2 = (-1 - √5) / -2
Il existe donc deux valeurs de a pour lesquelles Ta passe par l’origine du repère.
S = {(-1 + √5) / -2 ; (-1 - √5) / -2}

Exercice 3
Partie 1 :
1. A’(x) = (4(e^x+1) – 4xe^x) / (e^x+1)²
A’(x) = (4e^x + 4 - 4xe^x) / (e^x+1)²
Pour tout x ≥ 0, (e^x+1)² ≥ 0 donc A’(x) est du signe de 4e^x + 4 - 4xe^x.
Après je ne sais pas :/

2. A s’annule pour x = a donc sur l’intervalle [0 ; +∞[, A est croissante sur [0 ; a] et décroissante sur [a ; +∞[.

Partie 2 :
Pour la partie 2 je comprends rien.