fidélisation de la clientèle

Sujet du devoir

Le directeur commercial d'un supermarché sait que, chaque mois, 85% des clients venus le mois précédent dans son magasin reviennent le mois suivant. Il décide alors de lancer, chaque mois, une grande campagne d'offres promotionnelles visant à accueillir en plus 1200 nouveaux clients dans le mois, tout en gardant ce taux de fidélisation de 85% d'un mois sur l'autre. On suppose enfin que 5000 clients sont allés dans le supermarché le mois précédant la mise en place de cette nouivelle stratégie et on pose U0 = 5000.

1. a) Calculer U1 et U2.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer Un+1 en fonction de Un.
c)Le directeur commercial présente cette stratégie comme permettant de dépasser 7000 clients. A l'aide d'un algorithme, déterminer le nombre de mois nécessaires pour atteindre cet objectif.
d) Le propriétaire du magasin trouve cette stratégie trop lente et affirme qu'il faudra attendre au moins un an et demi pour dépasser les 7500 clients dans le mois. A-t-il raison? Justifier.

2. En observant au moins les 60 premiers termes de la suite obtenus à l'aide de la calculatrice, faire une conjecture sur la limite de la suite (Un).

3. L'objectif de ce qui suit est de confirmer ou d'infirmer cette conjecture. On pose, pour tout entier n, Vn = Un - 8000.
a) Calculer V0, V1 et V2.
b) Exprimer Vn+1 en fonction de Un+1, puis en fonction de Un, puis en fonction de Vn. En déduire que (Vn) est une suite géométrique de raison 0.85.
c) Donner alors une expression de Vn en fonction de n.
d) Déduire de la question précédente que, pour tout entier n, Un = -3000 * 0.85^n + 8000
e) A partir de cette expression, confirmer ou infirmer la conjecture faite au 2.a).
f) Justifier qu'il existe un entier N à partir duquel la distance en Un et 8000 est strictement inférieure à 1. Déterminer cet entier N. Que peut-on en déduire pour la clientèle du supermarché?

Où j'en suis dans mon devoir

1) a)U1 = 0.85 *5000+1200 =5450
U2 = 0.85*5450+1200 = 5832.5

b) Un+1 = 0.85Un+1200
c) fait , je trouve 7 mois pour arriver a l'objectif de 7000 clients
d) je trouve qu'il faut un an pour atteindre l'objectif de 7500 clients donc il a tort .

2) Je bloque
3) a) V0=5000-8000=-3000
V1=5450-8000=-2550
V2=5832.5-8000=-2167.5

b)je bloque ainsi que pour la suite